З точки А, що лежить поза колом з центром у точці О, проведено дотичні АВ і АС ( В і С – точки дотику). ВАС=60°. Знайти довжину радіуса кола, якщо ОА=15см.

Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите В1D перпендикулярен D1С.

Объяснение:

Введем прямоугольную систему координат: В(0;0;0) ,ось ох по ребру ВА, ось оу по ребру ВС, ось оz по ребру ВВ1 .

Пусть ребро куба а, тогда координаты

В1(0;0;а) ,D (a; a;0) , вектор В1D(a; a;-a) .

D1(a; a; a) ,C(0;a;0), вектор D1C(-a; 0;-a ).

Найдем скалярное произведение в координатах :

В1D×D1C=a×(-a)+a×0+(-a)×(-a)=-a²+0+a²=0. Т.к. скалярное произведение равно нулю, то вектора перпендикулярны, а значит и прямые , на которых лежат эти вектора, перпендикулярны.

Объяснение:

Рисунок 380)

∆АВС- прямоугольный треугольник

АС- гипотенуза.

АВ и ВС- катеты.

По теореме Пифагора найдем катет ВС.

ВС²=АС²-АВ²=7²-5²=49-25=24

ВС=√24=2√6 см

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов.

S=1/2*AB*BC=5*2√6/2=5√6 см².

ответ: площадь треугольника равна 5√6.

Рисунок 383)

Дано:

ABCD- прямоугольник.

АВ=9см.

BD=25см

S=?

Решение.

∆ABD- прямоугольный треугольник

BD- гипотенуза.

АВ и AD- катеты.

По теореме Пифагора найдем катет AD

AD²=BD²-AB²=25²-9²=625-81=544см

АD=√544=4√34см

S=AD*AB=9*4√34=36√34см²

ответ: площадь прямоугольника равна 36√34 см².

Рисунок 384)

При условии что внешние углы равны между собой и составляют градусную меру 135°.

Найдем угол <ВСА

<ВСА+<135=180°, смежные углы.

<ВСА=180°-135°=45°.

<ВСА=<САВ, так как внешние углы равны 135°.

В ∆ВСА, углы при СА равны 45° .

Отсюда следует что ∆ВСА- равнобедренный. ВА=ВС

Пусть сторона ВА будет х см. Тогда ВС тоже будет х см.

По теореме Пифагора составляем уравнение.

ВА²+ВС²=АС²

х²+х²=6²

2х²=36

х²=36/2

х²=18

х=√18

х=3√2 см сторона АВ и сторона ВС.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов.

S=1/2*AB*BC=1/2*3√2*3√2=9см².

ответ: площадь треугольника равна 9см²