На рисунке точки M,N,P и Q - середины сторон четырехугольника ABCD, AC=10 см, BD=18 см. а) Докажите, что MNPQ - параллелограмм, и найдите его периметр.
б) Найдите площади четырехугольников ABCD и MNPQ, если угол BOC= 60 градусов

А) Используем формулу площади равнобедренного треугольника:
S = (1/2)L²sinβ, где L- образующая конуса.
Отсюда .
В осевом сечении угол при вершине треугольника равен 2α.
Площадь осевого сечения So = (1/2)L²sin(2α) = (1/2)*(2S/sinβ)*(sin(2α) = (S*sin(2α)/sin β.
б)  Площадь осевого сечения усечённого конуса, полученного сечением данного конуса плоскость, проходящей через середину его высоты. составляет 3/4 от осевого сечения полного конуса.
Это потому, что отнимается половина основания треугольника и половина высоты - итого 1/4 площади.
Тогда Soу = (3/4)* (S*sin(2α)/sin β =  (3*S*sin(2α)/(4*sin β).

АК должно проходить через точку Н
SH -высота пирамиды, Так как все грани наклонены под одинаковым углом к основанию, то Н- центр вписанной окружности. Проведем SK перпендикулярно ВС. По теореме о трех перпендикулярах НК тоже перпендикулярно ВС. Угол SKH - линейный угол двугранного угла между боковой гранью и пл. основания и поэтому угол SKH=60
НК одновременно будет радиусом вписанной окружности треугольника АВС. Плоскость SHK перпендикулярна ВС и следовательно грани SBC, поэтому шар будет касаться грани SВС в точке принадлежащей SK.
Пусть центр шара - точка О
Сделаем выносной чертеж плоскости SHK. ОМ перпендикулярно SK ОМ=OH=R. М - точка касания шара и боковой грани. MO1 перпендикулярно SH. O1M это будет радиус окружности, проходящей через точки касания. ОК является биссектрисой угла SKH=> угол OKH=30
Из треугольника ОНК: ОН/НК=tg30, HK=R*sqrt(3)
HK/SK=cos60 => SK=2Rsqrt(3) (или катет против угла в 30 градусов) -апофема бококвой грани найдена. Одновременно мы нашли и КМ=НК=R*sqrt(3). Значит SM=R*sqrt(3)
А тогда из подобия треугольников SMO1 и SKH следует, что O1M=(1/2)HK=(R*sqrt(3))/2
Тогда длина окружности проходящей через точки касания равна 2*pi*(R*sqrt(3))/2...