8три окружности, радиусы которых 6 см, 2 см и 4 см, касаются друг друга внешним образом. найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей.
Соединим центры этих окружностей и получим треугольник, стороны которого равны сумме двух соответствующих радиусов:
а=2+4=6см
b=2+6=8см
с=4+6=10см
Стороны треугольника, вершины которого являюстя центрами данных окружностей, уже известны. Ясно, что окружность, радиус которой нужно найти, будет описанной около этого треугольника. Радиус описанной окружности вычисляется по формуле:
R=a*b*c/4S, где S-площадь треугольника. Найдем S по формуле Герона:
А - центр окружности с радиусом 6 см
В - центр окружности с радиусом 2см
С - центр окружности с радиусом 4 см
В треугольнике АВС:
АВ = 6+2 = 8 (см)
ВС = 2+4 = 6 (см)
АС = 6+4 = 10 (см)
Используем различные формулы площади треугольника (р - полупериметр):
S = √(р(р-а)(р-b)(р-с)) = √(12(12-8)(12-6)(12-10)) = √(12*4*6*2) = 24 (кв.см)
S = аbс/(4R) = 8*6*10/(4R) = 120/R
120/R = 24
R = 120/24 = 5 (см)
Соединим центры этих окружностей и получим треугольник, стороны которого равны сумме двух соответствующих радиусов:
а=2+4=6см
b=2+6=8см
с=4+6=10см
Стороны треугольника, вершины которого являюстя центрами данных окружностей, уже известны. Ясно, что окружность, радиус которой нужно найти, будет описанной около этого треугольника. Радиус описанной окружности вычисляется по формуле:
R=a*b*c/4S, где S-площадь треугольника. Найдем S по формуле Герона:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)), где р=(a+b+c)/2
p=(6+8+10)/2=12см
S=√(12*(12-6)(12-8)(12-10))=12*6*4*2=24см
R=6*8*10/4*24=5см