Войти Регистрация Спроси ai-bota

Вычислить предел функции не используя метод Лопиталя

Вычислить предел функции не используя метод Лопиталя

Показать ответ

Ответ:

DcPer11

12.02.2021 16:43

Вычислить предел функции не используя метод Лопиталя

0,0(0 оценок)

Ответ:

innapuna8

12.02.2021 16:43

ответ: $\dfrac1{2\pi}$ Объяснение:1 Запишем

$\displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{\b{tg}~\pi x}$

2 Умножим на 1

Представим 1 как дробь $\dfrac{\sqrt{x^2-x+1}+1}{\sqrt{x^2-x+1}+1}$

$\displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{\b{tg}~\pi x} \cdot\dfrac{\sqrt{x^2-x+1}+1}{\sqrt{x^2-x+1}+1}$

3 Соберем все в одну дробь $\displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{\big(\sqrt{x^2-x+1}-1\big)\big(\sqrt{x^2-x+1}+1\big)}{\b{tg}~\pi x\cdot\big(\sqrt{x^2-x+1}+1\big)}$ 4 В числителе разность квадратов

(a-b)(a+b)=a^2-b^2 где

$a=\sqrt{x^2-x+1}\\b=1$

$\displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x+1-1}{\b{tg}~\pi x\cdot\big(\sqrt{x^2-x+1}+1\big)}$

5 Упростим числитель и представим предел произведения как произведение пределов $\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac1{\sqrt{x^2-x+1}+1} \cdot\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\b{tg}~\pi x}$ 6 Можно посчитать первый предел

$\displaystyle \dfrac1{\sqrt{1^2-1+1}+1} \cdot\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\b{tg}~\pi x}$

$\displaystyle \dfrac1{1+1} \cdot\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\b{tg}~\pi x}$

$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\b{tg}~\pi x}$

7 Представим тангенс как отношение синуса и косинуса $\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\dfrac{\sin \pi x}{\cos \pi x}}$ 8 Вынесем косинус и посчитаем $\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \cos \pi x\cdot\dfrac{x^2-x}{\sin \pi x}}$ $\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\sin \pi x}}$ 9 Разложим на множители числитель $\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{x(x-1)}{\sin \pi x}}$ $\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} x\cdot\dfrac{x-1}{\sin \pi x}}$ $\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{x-1}{\sin \pi x}}$ 10 Умножим на 1

Представим 1 как отношение $\dfrac\pi\pi$

$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{\pi x-\pi}{\pi\sin \pi x}}$

11 Вынесем пи

$\dfrac1{2\pi}\displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{\pi x-\pi}{\sin \pi x}}$

12 Перед нами первый замечательный предел, так как

$\pi x-\pi \to 0$ при $x\to 1$

$\sin\pi x\to\sin \pi = 0$ при $x\to 1$

$\dfrac1{2\pi}\cdot 1$

ОТВЕТ $\dfrac1{2\pi}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

termos68

27.09.2022 20:24

Выберите функцию, графики которой параллелен с данной функцией: y=-5х+6 y=-5х-25y=5x+22y=-0,5х+6...

NikolBarsova

19.06.2022 18:28

Дана арифметическая прогрессия (а). Запишите формулу ее n-гочлена и найдите а при заданном n:а) -14; - 9; -4;...; n = 7...

Marinet111

05.11.2022 00:51

Корень 0,36 умножить на 16...

viktpriabihanov

28.11.2022 10:05

Можно ли записать периметр прямоугольника, с разными сторонами a и b в виде одночлена???...

mishasviderski

20.07.2021 18:10

Несколько мальчиков ходили в поход за грибами, собрав суммарно гриба. Петя собрал меньше всех, но больше, одной десятой от всех собранных грибов. Вася собрал больше...

mugenovak

16.12.2021 06:12

Три числа второе из них равно 28 образуют геометрическую прогрессию если к второму числу добавить 7 а первое и третье оставить без изменений то новые три числа образуют...

Tupiccc

12.01.2021 02:58

решить:4) График какого из уравнений проходит через точку M(-3;1)?а: 2y-5=3xб: 3x-1=2yв: -3x+y=0г: 5y=-3x-45) Решением какой из систему уравнений есть числа (-1;-8)?а:...

evauvanova1998

13.12.2020 10:08

От кто хорошо знает алгебру? От этого зависит моя четвертная...

alexalevdorovic

01.04.2020 20:50

берілген функцияға кері функция керек. ...

kushmantsev

01.04.2020 20:50

На рисунке изображён график функции, заданной уравнением у=2х-х² а) покажите на координатной плоскости множество решений неравенства: у-2х+х² 0 б) какая из точек:...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку