Все натуральные числа делятся на три категории - вида 3k, вида 3k+1 и 3k-1. Если p=3k и является простым, то это p=3, при этом p+10=13 и p+14=17 являются простыми. Если p=3k+1, то p+14=3k+15=3(k+5), то есть p+14 не является простым. Если p=3k-1, то p+10=3k+9=3(k+3), то есть p+10 не является простым. Таким образом, 3 - единственное число, удовлетворяющее условию задачи.
Замечание. Если со школьного уровня перейти на студенческий, то простые числа надо искать и среди отрицательных чисел. Тогда решений будет больше, но это - тема уже другой задачи.
1. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения n 3 + 11n делится на 6. Доказательство. 1) Начало индукции. Проверим утверждение при n = 1. 13 + 11∙ 1 = 12 Так как 12 : 6 = 2, то утверждение справедливо при n = 1. 2) Индуктивное допущение. Предположим, что утверждение справедливо при n = k, т. е. выражение k^3 + 11k делится на 6. 3) Индуктивный шаг. Докажем, что утверждение выполняется при n = k +1. (k+1)^3 + 11(k+1) = k^3 + 3k^ 2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k^3 + 11k) + 3k(k + 1) +12. Первое слагаемое делится на 6. При любом натуральном k одно из чисел k или ( k + 1) является чётным, поэтому второе слагаемое делится на 6. Третье слагаемое делится на 6. По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом n∈N остальные в 1) и 2)- делать аналогично.
Замечание. Если со школьного уровня перейти на студенческий, то простые числа надо искать и среди отрицательных чисел. Тогда решений будет больше, но это - тема уже другой задачи.
1) Начало индукции. Проверим утверждение при n = 1.
13 + 11∙ 1 = 12 Так как 12 : 6 = 2, то утверждение справедливо при n = 1.
2) Индуктивное допущение. Предположим, что утверждение справедливо
при n = k, т. е. выражение k^3 + 11k делится на 6.
3) Индуктивный шаг. Докажем, что утверждение выполняется при n = k +1. (k+1)^3 + 11(k+1) = k^3 + 3k^ 2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k^3 + 11k) + 3k(k + 1) +12. Первое слагаемое делится на 6. При любом натуральном k одно из чисел
k или ( k + 1) является чётным, поэтому второе слагаемое делится на 6. Третье слагаемое делится на 6. По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом n∈N
остальные в 1) и 2)- делать аналогично.