Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.
Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).
То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.
ответ: Нет.
Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.
Пусть искомый многочлен f(x) существует.
Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).
Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.
Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).
То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.
4 / 2 2 /atan2(-im(m), -re(m))\ 4 / 2 2 /atan2(-im(m), -re(m))\
\/ 3 *\/ im (m) + re (m) *cos|| i*\/ 3 *\/ im (m) + re (m) *sin||
\ 2 / \ 2 /
n1 = - -
3 3
4 / 2 2 /atan2(-im(m), -re(m))\ 4 / 2 2 /atan2(-im(m), -re(m))\
\/ 3 *\/ im (m) + re (m) *cos|| i*\/ 3 *\/ im (m) + re (m) *sin||
\ 2 / \ 2 /
n2 = +
3 3
/ / \\ / / \\
/ 2 2 | |im(m) \/ 3 *re(m) re(m) \/ 3 *im(m)|| / 2 2 | |im(m) \/ 3 *re(m) re(m) \/ 3 *im(m)||
/ / \ / \ |atan2| - + || / / \ / \ |atan2| - + ||
/ |im(m) \/ 3 *re(m)| |re(m) \/ 3 *im(m)| | \ 6 6 6 6 /| / |im(m) \/ 3 *re(m)| |re(m) \/ 3 *im(m)| | \ 6 6 6 6 /|
n3 = - 4 / | - | + | + | *cos|| - i*4 / | - | + | + | *sin||
\/ \ 6 6 / \ 6 6 / \ 2 / \/ \ 6 6 / \ 6 6 / \ 2 /
/ / \\ / / \\
/ 2 2 | |im(m) \/ 3 *re(m) re(m) \/ 3 *im(m)|| / 2 2 | |im(m) \/ 3 *re(m) re(m) \/ 3 *im(m)||
/ / \ / \ |atan2| - + || / / \ / \ |atan2| - + ||
/ |im(m) \/ 3 *re(m)| |re(m) \/ 3 *im(m)| | \ 6 6 6 6 /| / |im(m) \/ 3 *re(m)| |re(m) \/ 3 *im(m)| | \ 6 6 6 6 /|
n4 = 4 / | - | + | + | *cos|| + i*4 / | - | + | + | *sin||
\/ \ 6 6 / \ 6 6 / \ 2 / \/ \ 6 6 / \ 6 6 / \ 2 /
/ / \\ / / \\
/ 2 2 | |im(m) \/ 3 *re(m) re(m) \/ 3 *im(m)|| / 2 2 | |im(m) \/ 3 *re(m) re(m) \/ 3 *im(m)||
/ / \ / \ |atan2| + - || / / \ / \ |atan2| + - ||
/ |im(m) \/ 3 *re(m)| |re(m) \/ 3 *im(m)| | \ 6 6 6 6 /| / |im(m) \/ 3 *re(m)| |re(m) \/ 3 *im(m)| | \ 6 6 6 6 /|
n5 = - 4 / | + | + | - | *cos|| - i*4 / | + | + | - | *sin||
\/ \ 6 6 / \ 6 6 / \ 2 / \/ \ 6 6 / \ 6 6 / \ 2 /
/ / \\ / / \\
/ 2 2 | |im(m) \/ 3 *re(m) re(m) \/ 3 *im(m)|| / 2 2 | |im(m) \/ 3 *re(m) re(m) \/ 3 *im(m)||
/ / \ / \ |atan2| + - || / / \ / \ |atan2| + - ||
/ |im(m) \/ 3 *re(m)| |re(m) \/ 3 *im(m)| | \ 6 6 6 6 /| / |im(m) \/ 3 *re(m)| |re(m) \/ 3 *im(m)| | \ 6 6 6 6 /|
n6 = 4 / | + | + | - | *cos|| + i*4 / | + | + | - | *sin||
\/ \ 6 6 / \ 6 6 / \ 2 / \/ \ 6 6 / \ 6 6 / \ 2 /