a) Рассмотри график функции y=x^2+3x+3 Найдем точки пересечения с осью Ох, решив уравнение x^2+3x+3=0 D = 9 - 4*3= - 3 Т.к. D = -3 < 0 , Следовательно, график y=x^2+3x+3 не пересекает ось Ох Т.к. коэффициент при x^2 = 1>0 , то ветви графика (ветви параболы) направлены вверх, следовательно график полностью распологается выше оси Ох и соответственно при любых значениях переменной х, значение квадратного трехчлена x^2+3x+3-положительно
б) Рассуждения аналогичны предыдущему примеру Вычислим дискриминант для уравнения 4x-4x^2-2=0 D = 16 - 4*4*2 = -16 Следовательно, график y=4x-4x^2-2 не пересекает ось Ох Т.к. коэффициент при x^2 = -4<0 , то ветви графика (ветви параболы) направлены вниз, следовательно график полностью распологается ниже оси Ох и соответственно при любых значениях переменной х, значение квадратного трехчлена 4x-4x^2-2-отрицательно
если число больше 0, и оно есть в обеих сторонах неравенства, то мы можем на него сократить без изменения знака
1. a+b>=0
a^3+b^3 >= a^b + ab^2
(a+b)(a^2-ab+b^2) >= ab(a+b) сокращаем на a+b при a+b = 0 это неравенство превращается в равенсто
a^2-ab+b^2 >= ab
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0 квадрат всегда больше равен 0
2. ab>0
a/b + b/a >=2
a/b + b/a - 2 >=0
(a^2+b^2 - 2ab)/ab >=0
(a-b)^2/ab >= 0
ab>0 (a-b)^2>=0 первое по условию , второе по определению квадрата
3. ab/c + ac/b + bc/a >= a+b+c при a b c >0
(a^2b^2/abc + a^2c^2/abc + b^2c^2)/abc - abc(a+b+c)/abc >=0
знаменатель отбросим он всегда больше 0 a*b*c>0
2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2bc - b^2ac - c^2ab)/2 >=0
умножаем на 2 числитель и знаменатель
(a^2b^2 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2 + b^2c^2 - 2b^2ac + a^2c^2+b^2c^2 - 2c^2ab)/2 >=0
(a^2(b^2-2bc+c^2) + b^2(a^2-2ac+c^2) + c^2(a^2-2ab+b^2))/2 >=0
(a^2(b-c)^2 + b^2(a-c)^2 + c^2(a-b)^2)/2 >=0
слева сумма квадратов деленное на положительное число, всегда больше равно 0
Найдем точки пересечения с осью Ох, решив уравнение x^2+3x+3=0
D = 9 - 4*3= - 3
Т.к. D = -3 < 0 ,
Следовательно, график y=x^2+3x+3 не пересекает ось Ох
Т.к. коэффициент при x^2 = 1>0 , то ветви графика (ветви параболы) направлены вверх, следовательно график полностью распологается выше оси Ох и соответственно при любых значениях переменной х, значение квадратного трехчлена x^2+3x+3-положительно
б) Рассуждения аналогичны предыдущему примеру
Вычислим дискриминант для уравнения 4x-4x^2-2=0
D = 16 - 4*4*2 = -16
Следовательно, график y=4x-4x^2-2 не пересекает ось Ох
Т.к. коэффициент при x^2 = -4<0 , то ветви графика (ветви параболы) направлены вниз, следовательно график полностью распологается ниже оси Ох и соответственно при любых значениях переменной х, значение квадратного трехчлена 4x-4x^2-2-отрицательно