Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х Решение квадратных уравнений по формуле.
Умножим обе части уравнения
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0
на 4а и последовательно имеем:
4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b2 - 4ac,
Примеры.
а) Решим уравнение: 4х2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, два разных корня;
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при
b2 - 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
б) Решим уравнение: 4х2 - 4х + 1 = 0,
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, один корень;
Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение
ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,
в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.
Данное уравнение корней не имеет.
Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0,
уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2 + px + c = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x1 x2 = q,
x1 +x2 = - p
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.
Например,
x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;
x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .
Например,
x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;
x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.
Өз еңбегімен тапқан бір саудагер күн сайын ұлына бір аббаси беріп: - ұлыңды ал, қамқор бол және ақша жинауға тырыс. ұлы бұл ақшаны суға лақтырды. отеп бұл туралы білді, бірақ ештеңе айтқан жоқ. ұлы ештеңемен айналыспаған, емес, ел мен араларды үйде әкесі. бірде саудагер туыстарына: - егер менің ұлым сізге келіп, ақша сұраса, оны бермеңіз. содан кейін ол ұлын шақырып, оған былай деді: - ақша табуға барыңыз. ұлы туыстарына барып, ақша сұрай бастады, бірақ олар Лиді одан бас тартты. содан кейін ол қара жұмысқа кірісуге мәжбүр болды". күні бойы Ұлы жалаң аяқпен әк араластырып, бір аббаси алып, бұл ақшаны әкесіне әкелді. әкесі: ал, ұлым, енді барып, тапқан ақшаңды суға тастаңыз деді. ұлым жауап берді: - әке, мен оларды қалай тастай аламын? мен олар үшін қандай ұн қабылдағанымды білмейсіз бе? менің саусақтарым әлі күнге дейін әкпен күйіп тұр. жоқ, мен оларды тастай алмаймын, қолым көтерілмейді. 102
Решим уравнение
х2 + 10х - 24 = 0.
Разложим левую часть на множители:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как
х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х - 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:
х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х Решение квадратных уравнений по формуле.
Умножим обе части уравнения
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0
на 4а и последовательно имеем:
4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b2 - 4ac,
Примеры.
а) Решим уравнение: 4х2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, два разных корня;
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при
b2 - 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
б) Решим уравнение: 4х2 - 4х + 1 = 0,
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, один корень;
Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение
ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,
в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.
Данное уравнение корней не имеет.
Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0,
уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2 + px + c = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x1 x2 = q,
x1 +x2 = - p
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.
Например,
x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;
x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .
Например,
x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;
x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.
Объяснение:
Прочитай это, потом поймёшь.
Өз еңбегімен тапқан бір саудагер күн сайын ұлына бір аббаси беріп: - ұлыңды ал, қамқор бол және ақша жинауға тырыс. ұлы бұл ақшаны суға лақтырды. отеп бұл туралы білді, бірақ ештеңе айтқан жоқ. ұлы ештеңемен айналыспаған, емес, ел мен араларды үйде әкесі. бірде саудагер туыстарына: - егер менің ұлым сізге келіп, ақша сұраса, оны бермеңіз. содан кейін ол ұлын шақырып, оған былай деді: - ақша табуға барыңыз. ұлы туыстарына барып, ақша сұрай бастады, бірақ олар Лиді одан бас тартты. содан кейін ол қара жұмысқа кірісуге мәжбүр болды". күні бойы Ұлы жалаң аяқпен әк араластырып, бір аббаси алып, бұл ақшаны әкесіне әкелді. әкесі: ал, ұлым, енді барып, тапқан ақшаңды суға тастаңыз деді. ұлым жауап берді: - әке, мен оларды қалай тастай аламын? мен олар үшін қандай ұн қабылдағанымды білмейсіз бе? менің саусақтарым әлі күнге дейін әкпен күйіп тұр. жоқ, мен оларды тастай алмаймын, қолым көтерілмейді. 102