Сумма коэффициентов при четных (2) и нечетных (1+1=2) степенях равна, значит, x=-1 - корень.
Осталась последняя скобка в разложении, найдем дискриминант уравнения
при любых х.
Итоговое разложение
Нули производной известны, это
Везде при х коэффициент равен 1 (у правой скобки нет нулей, её мы считаем просто каким-то положительным числом), значит, в самом правом промежутке "+", а дальше чередование.
Имеем при возрастание , а при убывание ,
- точка локального максимума,
- точка локального минимума.
Убывание должно быть на интервале , поэтому если параметр захватит точки экстремума - ничего страшного, интервал как раз не включает концы.
С одной стороны, , как раз при убывание на выполняется.
С другой стороны, , при убывание продолжается вплоть до x=1, не включая эту точку.
Ну
указывает на то, что надо бы производную брать для исследования этой функции, ибо она красивая получается.
Далее, для исследования исходной функции на возрастание/убывание необходимо найти нули производной, то есть![f'(x)=0;](/tpl/images/0725/1569/e89fa.png)
Сумма коэффициентов в уравнении равно 0, значит, x=1 - корень
Попробуем разложить выражение, заранее зная корень.
Теперь нужно проанализировать правую скобку![x^3+x+2=0;](/tpl/images/0725/1569/58ed4.png)
Сумма коэффициентов при четных (2) и нечетных (1+1=2) степенях равна, значит, x=-1 - корень.![x^3+x+2=x^3+x^2-x^2-x+2x+2=x^2(x+1)-x(x+1)+2(x+1)=\\ =(x+1)(x^2-x+2)](/tpl/images/0725/1569/c38ce.png)
Осталась последняя скобка в разложении, найдем дискриминант уравнения
Итоговое разложение![f'(x)=(x-1)(x+1)(x^2-x+2)](/tpl/images/0725/1569/9c689.png)
Нули производной известны, это![x=\pm1](/tpl/images/0725/1569/c107b.png)
Везде при х коэффициент равен 1 (у правой скобки нет нулей, её мы считаем просто каким-то положительным числом), значит, в самом правом промежутке "+", а дальше чередование.
Имеем при
возрастание
, а при
убывание
,
Убывание должно быть на интервале
, поэтому если параметр захватит точки экстремума - ничего страшного, интервал как раз не включает концы.
С одной стороны,
, как раз при
убывание на
выполняется.
С другой стороны,
, при
убывание продолжается вплоть до x=1, не включая эту точку.
Объединяя наши условия, получаем![$1\leq a\leq \frac{2}{3} \Rightarrow a\in[1;\frac{2}{3}]](/tpl/images/0725/1569/fb3d8.png)
ответ:![\boxed {a\in[1;\frac{2}{3}]}](/tpl/images/0725/1569/80e87.png)