Войти Регистрация Спроси ai-bota

Докажите равенство $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{2} } } } } =2cos\frac{\pi }{2^{n+1} }$
Все это равенство n радикалов

Показать ответ

Ответ:

romanajmusin520

09.08.2021 22:00

Объяснение:

Формула:

$\frac{1+cos2x}{2} =cos^{2}x$

$S(n)=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{2} } } } }$

S(n) - n радикалов

Используем метод мат индукции

1) Покажем верность равенства при n=1, 2, 3

$S(1)=\sqrt{2}=2cos\frac{\pi }{4}=2cos\frac{\pi }{2^{2} }$

$S(2)=\sqrt{2+\sqrt{2} }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{4} }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{4}}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{8} } =2cos\frac{\pi }{8}=2cos\frac{\pi }{2^{3} }$

$S(3)=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{8} }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{8}}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{16} } =2cos\frac{\pi }{16}=2cos\frac{\pi }{2^{4} }$

2) Предположим, что равенство верно при n=k

$S(k)=2cos\frac{\pi }{2^{k+1} }$

3) Покажем, , что равенство верно при n=k+1

$S(k+1)=\sqrt{2+S(k) }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{2^{k+1} } }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{2^{k+1} }}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{2^{k+2} } } =2cos\frac{\pi }{2^{k+2}}$

Ч.т.д.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

John009

07.05.2021 19:57

1. Як розділити на дві рівні частини 12 відер хлібного квасу, налитого у 12- відерну бочку, користуючись 8-відерною та 5-відерною порожнімибочками?...

kseniasmirnova3

10.08.2020 02:45

101. Под поршнем цилиндра находится газ постоянной температуры. Вычислите объем (в литрах) газа под давлением р (атмосфер)по формуле V = 12/p...

danilkudo423

01.10.2022 14:50

В чемпионате страныпо футболу участвуют 16 команд. Любыедве команды играют друг с другом два раза: по разу на поле каждого из сопер-ников. Какое максимальное количество очков могут...

butkovskaal

24.12.2020 17:46

1.Записать разложение бинома:1) (1-х)^3; 2)( 2а+3)^5; 3) (3х+2)^6....

pikeik

29.03.2021 17:31

Разложите на множители многочлены 15.13 )4) и 5)...

Lisa2106

21.05.2021 03:52

(2a+1/2a-1 - 2a-1/2a+1)x10a-5/4a решение или хотя бы ответ,на сравнение...

alina15299

09.01.2022 09:36

Тема: дроби пример: 3t-p2(2-степень)/t2(2- степень) : является ли дробью выражение....

tverikin1997

09.01.2022 09:36

Четырехзначное число,в котором цифра единиц равна разности между цифрами тысяч и сотен,а цифра десятков равна нулю, является квадратом числа.найдите это число....

Грамматике

09.01.2022 09:36

Из двух сел расстояние между которыми равно s км одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист через сколько часов после начала движения велосипедист догонит...

Dinka1597

09.01.2022 09:36

Cos^2(2x)-2cos(2x) больше или равно 0...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку