1. Указати всі двоцифрові числа, для яких число 64 є кратним. а) 32; 64; 128; б) 16; 32; 64; в) 16; 32;
г) 16; 18; 32; д) 12; 16; 18.
2. Задано нерівність 305 < x < 311. Указати всі її розв’язки, кратні числу 2.
а) 306; 308; 310; б) 308; 310; в) 306; 310; 311;
г) 310; д) 306; 310.
3. Установити відповідність між числами (1–4) та числами (А–Д) так, щоб
їх сума ділилася на 10.
1 359 А 297
2 247 Б 101
3 183 В 256
4 764 Г 169
Д 423
4. Знайти найменше трицифрове число х, щоб значення виразу х + 231
ділилося на 5.
5. У запису числа 721* замість «*» записати найбільшу цифру, щоб одержане число ділилося на 3.
Пусть мальчиков M и девочек D. Тогда вероятность правильного ответа у случайно выбранного ученика равна p = M / (M + D) * beta + D / (M + D) * gamma.
Теперь будем решать такую задачу: учитель отвечает верно с вероятностью alpha, ученик отвечает верно с вероятностью p. Найти вероятность того, что они ответят одинаково. При каком p эта вероятность = 1/2?
Конечно, P(одинаково) = P(уч-к ошибся|уч-ль ошибся) + P(уч-к верно|уч-ль верно) = alpha p + (1 - alpha)(1 - p) = alpha p + 1 - alpha - p + alpha p = p(2alpha - 1) + (1 - alpha) = 1/2
p(2alpha - 1) = alpha - 1/2
p = 1/2 (*) или alpha = 1/2 (**)
(*)
M / (M + D) * beta + D / (M + D) * gamma = 1/2
M beta + D gamma = 1/2 (M + D)
M/D beta + gamma = 1/2 M/D + 1/2
M/D (beta - 1/2) = 1/2 - gamma
Если beta не равна 1/2, ответ
M/D = (1 - 2gamma)/(2beta - 1)
Если beta = gamma = 1/2, то M/D - любое.
Если beta = 1/2 и gamma != 12, то M/D = infty, т.е. D = 0 и M != 0.
(**) Если alpha = 1/2, то p может принимать любые значения, тогда ничего узнать не удастся.
ответ. Если alpha = 1/2 или beta = gamma = 1/2, то отношение может быть любым, иначе оно равно (1 - 2gamma))/(2beta - 1)
n³-4n(a+n)+nx(a-n)-a(x-4)(x+4)=
=n³ -4na-4n²+anx-n²x - a(x-4)(x+4)=
=(сгруппируем второе и четвертое, третье и пятое)=
=n³+an(x-4)-n²(x+4)-a(x-4)(x+4)=
=(сгруппируем первое и третье слагаемое, второе и четвертое)=
=n²(n-x-4)+a(x-4)(n-x-4)=
=(n-x-4)(n²+ax-4a)
Проверка:
Раскроем скобки в ответе: (n-x-4)(n²+ax-4a)=
=n³-n²x-4n²+anx-ax²-4ax-4an+4ax+16a=(вот здесь весь секрет, слагаемые -4ax и 4ax с противоположными знаками и они в сумме дали 0)=
=n³-n²x-4n²+anx-ax²-4an+16a.
данное выражение:
n(n²-4(a+n)+x(a-n))-a(x-4)(x+4) =n³-4n(a+n)+nx(a-n)-a(x²-16)=
=n³-4an-4n²+anx-n²x-ax²+16a
Значит, можно было в данном выражении прибавить и отнять 4ax и раскладывать на множители и все тоже бы получилось