Винституте обучается 1000 студентов. в столовой имеется 105 посадочных мест. каждый студент отправляется в столовую на третьей перемене с вероятностью 0,1. найти вероятность того, что на третьей перемене столовая будет заполнена не более чем на 2/3.

ПРИМЕР №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти:

1) grad z в точке A; 2) производную данной функции в точке A в направлении вектора a.

z=5x²*y+3xy²

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

grad(z)=(10xy+3y²)i+(5x²+6xy)j

Найдем градиент в точке А(1;1): grad(z)A=(10·1·1+3·1²)i+(5·1²+6·1·1)j или grad(z)A=13i+11j

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.

Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

ПРИМЕР №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0).

Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А.

б) производную в точке А по направлению вектора а.

ПРИМЕР №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2).

z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^x

Решение.

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.

Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

ПРИМЕР №4. Дана функция . Найти:

1) gradu в точке A(5; 3; 0);

2) производную в точке А в направлении вектора a=i-2j+k.

Решение.

1. .

Найдем частные производные функции u в точке А.

;;

, .

Тогда  

2. Производную по направлению вектора a в точке А находим по формуле

.

Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти cos α, cos β, cos γ, найдем единичный вектор a0 вектора a.

, где .

Отсюда .

ПРИМЕР №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a.

Решение.

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

2 км/ч

Пошаговое объяснение:

Пусть: х- скорость пловца, у- скорость течения

Пловец три участка пути (S1, S2 и S3): 1. от моста против течения S1=(x-y)*0.5 за t1=0.5ч  2. обратно до моста по течению S2=S1 за t2=S1/(x+y)=((x-y)*0.5)/(x+y)  3. от моста до мяча по течению S3=2км t3=S3/(x+y)=2/(x+y)

Все время в пути мяча = 2км/y

Все время в пути:

0,5 + ((x-y)*0.5)/(x+y) + 2/(x+y) = 2/y

(0,5*(x+y) + 0.5*(x-y) + 2)/(x+y)=2/y

упращаем выражение и получаем

(x+2)/(x+y)=2/y

2(x+y)=y(x+2)

2x+2y=xy+2y

2x=xy

y=2

Скорость течения = 2км/ч