Существует ли натуральное число такое, что вычеркиванием любой одной цифры из этого числа получается натуральное число, делящееся на все числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 с доказательством.

Может  кондоватый но  ладно.
Это число  делится  на 10  тк  делится на  2 и 5
То  тк  при вычеркивании  последней цифры
должен остатся ноль то предпоследняя  цифра этого  числа 0.
Если  же мы будем вычеркивать  предпоследнюю цифру и выше тоже 0.  То  последние 2 цифры нули.
Число делится на 3  только  когда когда сумма цифр делится на 3
Если в  этом числе зачеркунуть его   последнюю цифру 0 
То  сумма цифр не изменится. А  значит и сумма цифр данного  числа делится на 3.  При  вычитании остальных цифр  выходит что все цифры  должны делится на 3 тк  если хоть 1 не  делится на 3 ,то при  вычетании этой цифры сумма на 3 делится уже не будет.
А вот  теперь самое трудное. По  признаку делимости на 7  оно  делится на 7  когда сумма числа десятков с утроенным числом единиц делится на 7.
Тк зачеркивая  1 цифру 0 ее  возможная делимость  на 7  не изменится. ТО  и   исходное  число делится  на 7.
То  у этого  числа  последняя 0 а утроенное  число   десятков 3x
Вычеркнем из этого  числа 3 цифру  кроме     то число десятков останется 0. По условию цифры  только 3 6 9 0(Уберем 2 последние нуля на  делимость на 7 они не  влияют)  то  число  десятков   уменьшится  на 0 3 6 9  и  уменьшится в 10 раз то  число  десятков при  цифрах  3 6 9 0 Уменьшится на  число  не кратное 7 ,но  тогда исхожное   число на 7  делится не  будет. То  последняя  цифра 0.
Далее  снова убераем лишний ноль  и продолжая теже рассуждения  выйдет что  все цифры должны быть нули. То  есть 000000000
Что невозможно. 
ответ :нет