Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти частное решение(частный интеграл) д.у. (2x+y)dy=ydx+4lnydy, y(0)=1 (ответ вас от чистого серда ответить быстро и развернуто. Заранее благодарю.

Показать ответ

Ответ:

cimuzoro

23.08.2020 16:27

$(2x+y-4\ln y)dy-ydx=0$

Уравнение M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 есть уравнением в полных дифференциалах тогда, когда выполнено равенство M'_y(x;y)=N'(x;y) . Данное уравнение имеет интегрирующий множитель $\mu (y)$ ,т.е.

$\mu (y)M(x;y)+\mu (y)N(x;y)y'=0\\ -y\cdot \dfrac{\mu(y)}{dy}-\mu(y)=2\mu(y)\\ \\ \mu (y)=\displaystyle \int -\dfrac{3}{y}dy=\dfrac{1}{y^3}$

Умножив обе части уравнения на интегрирующий множитель, получим, что данное диф. уравнение будет в полных дифференциалах. Легко проверить: $M'_y(x;y)=\dfrac{2}{y^3}=N'_x(x;y)$

Если функция F(x;y) удовлетворяет F'_x(x;y)=M(x;y) и F'_y(x;y)=N(x;y) , то решение F(x;y)=C , где $C\in \mathbb{R}$ .

Интегрируя функцию F по х, получим

$F(x;y)=\displaystyle \int M(x;y)dx=\int -\dfrac{dx}{y^2}=-\dfrac{x}{y^2}+C(y)$

Дифференцируя по у, получим $F'_y(x;y)=\dfrac{2x}{y^3}+C'(y)$

Мы имеем $F'_y(x;y)=N(x;y)=-\dfrac{4\ln y-y-2x}{y^3}$ отсюда $C'(y)=-\dfrac{4\ln y-y}{y^3}$ получаем $C(y)=\displaystyle \int \left(-\dfrac{4\ln y-y}{y^3}\right)dy=-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}$

Общий интеграл: $-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}-\dfrac{x}{y^2}=C$

Подставив начальные условия, мы получим

-1 - 1 = C

C = -2

$\boxed{-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}-\dfrac{x}{y^2}=-2~~~\Rightarrow~~~ x=2\ln y+1-y}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Hemmgirl

02.11.2021 19:04

Листы в книге пронумерованы следующим образом: первый лист — это две страницы (с номерами 11 и 22), второй лист — это следующие две страницы (с номерами 33 и 44)...

lizakocirbenck

05.10.2020 12:19

5-1. Позавчера я сел в поезд в Москве и, взглянув на билет, в котором была указана дата выезда, обратил внимание, что номер моего места в вагоне меньше номера вагона,номер...

AnnaFox2000

26.10.2022 05:37

В выборах на должность президента класса соревновались Петя и Вася. В течении трёх часов 33 ученика класса голосовали за одного из двух кандидатов. За первые два...

kargina55

15.01.2020 00:18

1 вариант, с дано и решение, и черчеж...

hamaturov

25.05.2023 05:14

Приведите дробь к несократимому виду:4 ; 15;5116;45;85...

kolap2230

25.01.2022 11:38

? 4 ученикаите12) В классе 9 девочек. Они составляютСколько учеников в классе?львсех учеников класса.3354. 1) В парке 120 деревьев, из нихсоставляют ели. Сколько...

АГОСЯ

14.06.2022 17:23

Решите : решите систему уравнений сложения. 1.система [3х+5у=16 [2х+3у=9 2.система [9х-7у=95 [4х+у=34 3.система [2х+7у-44=0 [2х-3у=-36 4.система [х-8у-17=0 [3х+4у-23=0...

данил20601

14.06.2022 17:23

Петя школ с одного села в другое 0,3ч. лесом и 0,6ч. по дороге проходя за все время 4,47 км с какой скоростью двиголся петя лесом есле по дороге он ишол 5,2км/ч...

Юля3класс

14.06.2022 17:23

Для парка 80 саженцев дуба. посадили 4 ряда по 15 в каждом. сколько саженцев осталось посадить...

Amina5155

14.06.2022 17:23

Скорость слабого ветра 4м/с а скорость ураганного в 9 раз больше. скорость штурмового ветра на 10м/с меньше скорость ураганного ветра . какова скорость штурмового...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку