Обратная теорема, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением — условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема. Таким образом, прямая и О. т. взаимно обратны. Например, теоремы: "если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны" и "если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны" — являются обратными друг другу. Из справедливости какой-нибудь теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней теоремы. Например, теорема: "если число делится на 6, то оно делится на 3" — верна, а О. т. : "если число делится на 3, то оно делится на 6" — неверна. Даже если О. т. верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Например, в евклидовой геометрии верны как теорема "две прямые на плоскости, имеющие общий перпендикуляр, не пересекаются", так и обратная к ней теорема "две непересекающиеся прямые на плоскости имеют общий перпендикуляр". Однако вторая (обратная) теорема основывается на евклидовой аксиоме параллельных, тогда как для доказательства первой эта аксиома не нужна. В Лобачевского геометрии вторая просто неверна, тогда как первая остаётся в силе. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в которой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение прямой теоремы, то неверно и её условие. Известный "доказательства от противного" как раз и представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения . Обратная теорема Пифагора: Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a^2 + b^2 = c^2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
Подкоренное выражение не должно быть отрицательным. То есть 3 - 2x - x² ≥ 0. Находим нули квадратного трехчлена a·x2+b·x+c из левой части квадратного неравенства. то есть, решаем уравнение 3 - 2x - x² = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-2)^2-4*(-1)*3=4-4*(-1)*3=4-(-4)*3=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√16-(-2))/(2*(-1))=(4-(-2))/(2*(-1))=(4+2)/(2*(-1))=6/(2*(-1))=6/(-2)=-6/2=-3;x₂=(-√16-(-2))/(2*(-1))=(-4-(-2))/(2*(-1))=(-4+2)/(2*(-1))=-2/(2*(-1))=-2/(-2)=-(-2/2)=-(-1)=1. Графически заданное неравенство представляет область, ограниченную параболой ветвями вниз, от полученных точек и выше оси абсцисс. ответ: -3 ≤ x ≤ 1. Подробности в приложении.
Обратная теорема Пифагора:
Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a^2 + b^2 = c^2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
То есть 3 - 2x - x² ≥ 0.
Находим нули квадратного трехчлена a·x2+b·x+c из левой части квадратного неравенства. то есть, решаем уравнение 3 - 2x - x² = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-2)^2-4*(-1)*3=4-4*(-1)*3=4-(-4)*3=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√16-(-2))/(2*(-1))=(4-(-2))/(2*(-1))=(4+2)/(2*(-1))=6/(2*(-1))=6/(-2)=-6/2=-3;x₂=(-√16-(-2))/(2*(-1))=(-4-(-2))/(2*(-1))=(-4+2)/(2*(-1))=-2/(2*(-1))=-2/(-2)=-(-2/2)=-(-1)=1.
Графически заданное неравенство представляет область, ограниченную параболой ветвями вниз, от полученных точек и выше оси абсцисс.
ответ: -3 ≤ x ≤ 1.
Подробности в приложении.