В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
DashaZhur1752
DashaZhur1752
25.06.2020 23:00 •  Математика

1.Дано: cos a= -0,6,П/2<а<П.Вычислите sin a, sin2a, tg(П/4+a) 2.При всех допустимых значениях a докажите тождество (на фото)


1.Дано: cos a= -0,6,П/2<а<П.Вычислите sin a, sin2a, tg(П/4+a) 2.При всех допустимых значениях

Показать ответ
Ответ:
kkseniyakach
kkseniyakach
11.01.2021 14:41

1. \cos\alpha = -0,6 = -\dfrac{3}{5}\ ;\ \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi .

а) Так как  \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi , то \sin\alpha 0 .

По основному тригонометрическому тождеству: \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 , тогда \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left ( -\dfrac{3}{5} \right )^2} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5} .

ответ: \dfrac{4}{5} .

б) \sin2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \left ( -\dfrac{3}{5} \right ) = -\dfrac{2\cdot 4\cdot 3}{25} = -\dfrac{24}{25} .

ответ: -\dfrac{24}{25} .

в) По формуле тангенса суммы: tg(x+y) = \dfrac{tg\ x + tg\ y}{1 - tg\ x\cdot tg\ y} . tg \dfrac{\pi}{4} = 1 , а tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\dfrac{4}{5}}{-\dfrac{3}{5}} = -\dfrac{4}{3} . Подставляем:

tg\left ( \dfrac{\pi}{4} + \alpha\right ) = \dfrac{tg \dfrac{\pi}{4} + tg\alpha}{1 - tg \dfrac{\pi}{4} \cdot tg\alpha} = \dfrac{1 + \left ( -\dfrac{4}{3} \right )}{1 - 1\cdot \left ( -\dfrac{4}{3} \right )} = \dfrac{1-\dfrac{4}{3}}{1-\left ( -\dfrac{4}{3} \right )} = \dfrac{-\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{4}{3}} =\\= -\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{7}{3}} = -\dfrac{1}{7}

ответ: -\dfrac{1}{7} .

2)

\dfrac{\cos\alpha - \cos5\alpha}{\sin5\alpha + \sin\alpha} = tg2\alpha .

Здесь мы применим формулу разности косинусов: \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right )\sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right ) , а также формулу суммы

синусов: \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right )\cos\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right ). Получаем:

\dfrac{-2\sin\left (\dfrac{\alpha+5\alpha}{2} \right )\sin\left (\dfrac{\alpha-5\alpha}{2} \right )}{2\sin\left (\dfrac{5\alpha+\alpha}{2} \right )\cos\left (\dfrac{5\alpha-\alpha}{2} \right )} = tg2\alpha\\\\\\\dfrac{-2\sin\left (\dfrac{6\alpha}{2}\right )\sin\left (\dfrac{-4\alpha}{2}\right )}{2\sin\left (\dfrac{6\alpha}{2}\right )\cos\left (\dfrac{4\alpha}{2}\right )} = tg2\alpha\\\\\\\dfrac{-2\sin3\alpha\sin(-2\alpha)}{2\sin3\alpha\cos2\alpha} = tg2\alpha

Так как \sin(-2\alpha) = -\sin2\alpha, то в числителе исчезает минус рядом с двойкой, получается:

\dfrac{2\sin3\alpha\sin2\alpha}{2\sin3\alpha\cos2\alpha} = tg2\alpha

Сокращаем числитель и знаменатель на 2\sin3\alpha :

\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = tg2\alpha\\\\\boxed{tg2\alpha = tg2\alpha} , что и требовалось доказать.

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота