1) Если x^3 < 10, то (x+1)^3 > 20. Это верно при x = 2. 2^3 < 10, 3^3 > 20 2) Если x(x+1) > 10, то (x+1)(x+2) < 10. Это верно при x = -4 (-4)(-3) = 12 > 10; (-3)(-2) = 6 < 10 Но при x = 2 будет ложная посылка (2*3 > 10 - это ложно), из которой следует ложный вывод 3*4 < 10. Поэтому импликация верна. ответ x = 2 3) Если x(x+1)(x+2) > 25, то x < x-1 Это сложнее. x < x-1 - ложно при любом х. Импликация будет истинной, только если посылка ложная. x(x+1)(x+2) > 25 - должно быть ложно. Это при x = 2. x(x+1)(x+2) = 2*3*4 = 24.
Обозначим P,Q,A утверждение что х принадлежит соответствующему отрезку ¬А отрицание А, то есть х не принадлежит А перепишем и упростим исходную формулу P→((Q∧¬A)→P) известно что X→Y=¬X∨Y (доказывается просто, например через таблицу истинности) тогда: P→(¬(Q∧¬A)∨P) раскроем скобку ¬(Q∧¬A) с закона де Моргана (стыдно их не знать, если что это такие же основы как и таблицы истинности) P→(¬Q∨¬¬A∨P) = P→(¬Q∨A∨P) = ¬P∨¬Q∨A∨P ¬P∨P=1 то есть всегда истинно и 1∨Х=Х значит ¬P и P можно убрать остается ¬Q∨A Значит х либо принадлежит А либо не принадлежит Q для выполнения этого условия необходимо чтобы все значения Q принадлежали А, тогда минимальное А совпадает с Q ответ А=[40,77]
2^3 < 10, 3^3 > 20
2) Если x(x+1) > 10, то (x+1)(x+2) < 10. Это верно при x = -4
(-4)(-3) = 12 > 10; (-3)(-2) = 6 < 10
Но при x = 2 будет ложная посылка (2*3 > 10 - это ложно),
из которой следует ложный вывод 3*4 < 10.
Поэтому импликация верна. ответ x = 2
3) Если x(x+1)(x+2) > 25, то x < x-1
Это сложнее. x < x-1 - ложно при любом х.
Импликация будет истинной, только если посылка ложная.
x(x+1)(x+2) > 25 - должно быть ложно. Это при x = 2.
x(x+1)(x+2) = 2*3*4 = 24.
¬А отрицание А, то есть х не принадлежит А
перепишем и упростим исходную формулу
P→((Q∧¬A)→P)
известно что X→Y=¬X∨Y (доказывается просто, например через таблицу истинности)
тогда:
P→(¬(Q∧¬A)∨P)
раскроем скобку ¬(Q∧¬A) с закона де Моргана (стыдно их не знать, если что это такие же основы как и таблицы истинности)
P→(¬Q∨¬¬A∨P) = P→(¬Q∨A∨P) = ¬P∨¬Q∨A∨P
¬P∨P=1 то есть всегда истинно и 1∨Х=Х значит ¬P и P можно убрать
остается ¬Q∨A
Значит х либо принадлежит А либо не принадлежит Q
для выполнения этого условия необходимо чтобы все значения Q принадлежали А, тогда минимальное А совпадает с Q
ответ А=[40,77]