Пусть биссектрисы внешних углов В и С пересеуаются в точке Д. Предположим что угол АВС=gamma;а угол АСВ=betta; тогда угол СВД=(Пи/2-gamma/2); а угол BCD=(Пи/2-betta/2); угол АВД=(ПИ/2+gamma/2); угол АСД= (Пи/2+betta/2) .
Тогда BD/sin(DAB)=AD/sin(ABD); and CD/sin(DAC)=AD/sin(DCA);
Пусть Н - высота пирамиды. Sosn - площадь основания, Sboc - боковой, S - площадь всей поверхности, S = Socn + Sboc; V - объем, r - радиус вписанного шара.
Sboc*cosb = Socn;
S = Socn*(1 + 1/cosb);
V = Socn*H/3; Socn = 3*V/H;
S = (3*V/H)*(1 + 1/cosb);
H/(1 + 1/cosb) = 3*V/S;
Справа стоит радиус вписанного шара, потому что
V = r*S/3;
Если это не понятно - соедините мысленно центр шара с вершинами и сложите объемы всех полученных при этом пирамид с высотами, равными r, и боковыми гранями в качестве оснований.
r = H/(1 + 1/cosb);
Осталось вычислить высоту пирамиды.
Если через высоту провести плоскость перпендикулярно стороне основания, то получится прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и ее проекцией на основание. Острый угол этого треугольника равен b. Проекция апофемы равна m = (a/2)*ctg(π/n), где n = 5; (это расстояние от центра основания до стороны) при этом H = m*tgb;
Пусть биссектрисы внешних углов В и С пересеуаются в точке Д. Предположим что угол АВС=gamma;а угол АСВ=betta; тогда угол СВД=(Пи/2-gamma/2); а угол BCD=(Пи/2-betta/2); угол АВД=(ПИ/2+gamma/2); угол АСД= (Пи/2+betta/2) .
Тогда BD/sin(DAB)=AD/sin(ABD); and CD/sin(DAC)=AD/sin(DCA);
BD/sin(DCB)=CD/sin(DBC)=>CD=BD*sin(DBC)/sin(DCB);
sin(DAB)=BD*sin(ABD)/AD ; sin(DAC)=CD*sin(DCA)/AD; подставляем
sin(DAC)=BD*sin(DBC)*sin(DCA)/(sin(DCB)*AD);
sin(ABD)=sin(pi/2+gamma/2)=cos(gamma/2); sin(DBC)=sin(pi/2-gamma/2)=cos(gamma/2); sin(DCA)=sin(pi/2+betta/2)=cos(betta/2);sin(DCB)=sin(pi/2-betta/2)= cos(betta/2); подставляем
sin(DAB)=BD*cos(gamma/2)/AD;
sin(DAC)=BD*cos(gamma/2)*cos(betta/2)/(cos(betta/2)*AD);
сокращаем получаем sin(DAC)=BD*cos(gamma/2)/AD=sin(DAB) ; => DAB=DAC
Пусть Н - высота пирамиды. Sosn - площадь основания, Sboc - боковой, S - площадь всей поверхности, S = Socn + Sboc; V - объем, r - радиус вписанного шара.
Sboc*cosb = Socn;
S = Socn*(1 + 1/cosb);
V = Socn*H/3; Socn = 3*V/H;
S = (3*V/H)*(1 + 1/cosb);
H/(1 + 1/cosb) = 3*V/S;
Справа стоит радиус вписанного шара, потому что
V = r*S/3;
Если это не понятно - соедините мысленно центр шара с вершинами и сложите объемы всех полученных при этом пирамид с высотами, равными r, и боковыми гранями в качестве оснований.
r = H/(1 + 1/cosb);
Осталось вычислить высоту пирамиды.
Если через высоту провести плоскость перпендикулярно стороне основания, то получится прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и ее проекцией на основание. Острый угол этого треугольника равен b. Проекция апофемы равна m = (a/2)*ctg(π/n), где n = 5; (это расстояние от центра основания до стороны) при этом H = m*tgb;
r = m*tgb/(1+1/cosb) = m*sinb/(1 + cosb) = (a/2)*ctg(π/n)*sinb/(1 + cosb);
r = (a/2)*ctg(π/5)*sinb/(1 + cosb); это ответ.
Как выразить функции углов, кратных 18 градусам, в радикалах - это отдельная задача. В данном случае нет смысла ее решать - все равно угол b не задан.