А) этот вопрос совсем простенький - достаточно доказать, что AM = AS; тогда высота AT треугольника AMS одновременно будет и медианой. Радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника в основании AH, равен стороне, деленной на √3, то есть AH = 4; а высота - в полтора раза больше, то есть AM = 6; AS^2 = AH^2 + SH^2 = 4^2 + 2^2*5 = 36; AS = 6 = AM; доказано. б) тут посложнее, но не на много. Дело в том, что прямые эти взаимно перпендикулярны (AT - высота пирамиды). Поэтому надо найти расстояние от точки T до SB. Из пункта а) следует, что это расстояние в 2 раза меньше, чем от M до SB, то есть половина высоты (к гипотенузе) прямоугольного треугольника MSB c катетом BM = 2√3 и гипотенузой 6; SM^2 = 6^2 - (2√3)^2 = 24; SM = 2√6; высота MSB равна (2√3)*(2√6)/6 = 2√2; а нужное расстояние в 2 раза меньше, то есть просто √2;
Доказать, что АДОЕ - ромб. В тр-ках ДАО и ЕАО АО - общая сторона, нужно доказать, что они равнобедренные. Опустим высоты ОК и ОМ на стороны АВ и АС соответственно. Высоты равны радиусу описанной окружности. В тр-ках АКО и АМО КО=МО, АО - общая сторона и оба прямоугольные, значит они равны , значит ∠КАО=∠МАО ⇒ ∠ДАО=∠ЕАО. Так как ДО║АЕ, а АО - секущая, то ∠ДАО=∠АОЕ и ∠ЕАО=∠ДОА, значит ∠ДАО=∠ДОА и ∠ЕАО=∠ЕОА, следовательно тр-ки АДО и ЕАО равнобедренные и равны (АО - общая, см. выше). Вывод: АД=ДО=ОЕ=ЕА. Доказано.
Радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника в основании AH, равен стороне, деленной на √3, то есть AH = 4; а высота - в полтора раза больше, то есть AM = 6;
AS^2 = AH^2 + SH^2 = 4^2 + 2^2*5 = 36; AS = 6 = AM; доказано.
б) тут посложнее, но не на много. Дело в том, что прямые эти взаимно перпендикулярны (AT - высота пирамиды). Поэтому надо найти расстояние от точки T до SB. Из пункта а) следует, что это расстояние в 2 раза меньше, чем от M до SB, то есть половина высоты (к гипотенузе) прямоугольного треугольника MSB c катетом BM = 2√3 и гипотенузой 6;
SM^2 = 6^2 - (2√3)^2 = 24; SM = 2√6;
высота MSB равна (2√3)*(2√6)/6 = 2√2; а нужное расстояние в 2 раза меньше, то есть просто √2;
В тр-ках ДАО и ЕАО АО - общая сторона, нужно доказать, что они равнобедренные.
Опустим высоты ОК и ОМ на стороны АВ и АС соответственно. Высоты равны радиусу описанной окружности. В тр-ках АКО и АМО КО=МО, АО - общая сторона и оба прямоугольные, значит они равны , значит ∠КАО=∠МАО ⇒ ∠ДАО=∠ЕАО.
Так как ДО║АЕ, а АО - секущая, то ∠ДАО=∠АОЕ и ∠ЕАО=∠ДОА, значит ∠ДАО=∠ДОА и ∠ЕАО=∠ЕОА, следовательно тр-ки АДО и ЕАО равнобедренные и равны (АО - общая, см. выше).
Вывод: АД=ДО=ОЕ=ЕА.
Доказано.