Вравнобедренной трапеции абсд с большим основанием ад биссектриса угла а пересекается с биссектрисой угла с в точке ф, а также пересекает сторону сд в точке к. известно, что угол афс равен 150°. найти ск, если фк=6√3
Прямоугольный треугольник, в котором отношение катетов равно 3:4 ( как здесь) - египетский. Гипотенуза равна 10 см ( можно проверить т.Пифагора). Высота прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе - есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею отрезков гипотенузы. Пусть треугольник будет АВС, высота СН, отрезок ВН равен х, отрезок АН= 10-х СН²=ВН*(АВ-ВН)=х*(10-х) В то же время катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу. Возьмем катет ВС=6: 6²=10*х Тогда х=3,6 см. h²=3,6*(10-3,6)=23,04 h=4,8 см------ Т.к. высота прямоугольного треугольника из вершины прямого угла к гипотенузе делит его на два подобных, можно задачу решать через подобие.
Очевидно, все сводится к построению равностороннего треугольника ABC с вершинами на параллельных прямых x, y, k соответственно. 1) Возьмем произвольную точку A на х и построим равносторонний треугольникк AMN так, что M лежит на x, а N на y. Пусть C - точка пересечения MN c прямой k. 2) Проведем серединный перпендикуляр к AC. Пусть он пересечет прямую y в точке B. Тогда построенный треугольник ABC - равносторонний. Докажем это. Опишем вокруг треугольника ACN окружность, которая пересекает прямую в точке B₁ (потом докажем что B₁ совпадает с B). Тогда ∠AB₁C=∠ANC=60° и ∠B₁CA=∠B₁NA=60° как вписанные. Т.е. треугольник AB₁C - равносторонний. Но так как существует только один равнобедренный треугольник с основанием AC и вершиной лежащей на (это наш построенный ABC), то B₁ совпадает с B.
Высота прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе - есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею отрезков гипотенузы.
Пусть треугольник будет АВС, высота СН, отрезок ВН равен х, отрезок АН= 10-х
СН²=ВН*(АВ-ВН)=х*(10-х)
В то же время
катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу.
Возьмем катет ВС=6:
6²=10*х
Тогда х=3,6 см.
h²=3,6*(10-3,6)=23,04
h=4,8 см------
Т.к. высота прямоугольного треугольника из вершины прямого угла к гипотенузе делит его на два подобных, можно задачу решать через подобие.
1) Возьмем произвольную точку A на х и построим равносторонний треугольникк AMN так, что M лежит на x, а N на y. Пусть C - точка пересечения MN c прямой k.
2) Проведем серединный перпендикуляр к AC. Пусть он пересечет прямую y в точке B. Тогда построенный треугольник ABC - равносторонний.
Докажем это. Опишем вокруг треугольника ACN окружность, которая пересекает прямую в точке B₁ (потом докажем что B₁ совпадает с B). Тогда ∠AB₁C=∠ANC=60° и ∠B₁CA=∠B₁NA=60° как вписанные. Т.е. треугольник AB₁C - равносторонний. Но так как существует только один равнобедренный треугольник с основанием AC и вершиной лежащей на (это наш построенный ABC), то B₁ совпадает с B.