Впрямоугольной трапеции авсd (ðваd = 90°) с основаниями аd = 12 и bc = 8 большая диагональ вd = 13. диагонали пересекаются в точке м. а) докажите, что треугольники вмс и dма подобны. б) найдите площадь треугольника авм.
А) ΔВМС и ΔДМА подобны по 1 признаку: <CВМ=<АДМ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей ВД; <ВМС=<ДМА как вертикальные. Значит ВМ/МД=ВС/АД=8/12=2/3 б) Из прямоугольного ΔАВД по т.Пифагора АВ=√(ВД²-АД²)=√(169-144)=√25=5 Площадь ΔАВД Sавд=АВ*АД/2=5*12/2=30 В ΔАВД и ΔАВМ общая высота, поэтому их площади относятся как основания ВД и ВМ: Sавм/Sавд=ВМ/ВД=2/5 Sавм=2Sавд/5=2*30/5=12
<CВМ=<АДМ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей ВД;
<ВМС=<ДМА как вертикальные.
Значит ВМ/МД=ВС/АД=8/12=2/3
б) Из прямоугольного ΔАВД по т.Пифагора
АВ=√(ВД²-АД²)=√(169-144)=√25=5
Площадь ΔАВД Sавд=АВ*АД/2=5*12/2=30
В ΔАВД и ΔАВМ общая высота, поэтому их площади относятся как основания ВД и ВМ:
Sавм/Sавд=ВМ/ВД=2/5
Sавм=2Sавд/5=2*30/5=12