Вариант I
Часть I
Выбрать правильный вариант ответа. За каждый правильный ответ
Сумма углов равна 180°, 5A;8 >=8&
1) являются накрест лежащими; 2) являются вертикальными;
3) являются смежными 4) являются развернутыми.
Две прямые, которые пересекаются под углом 90°, O2;ONBAO&
1) перпендикулярными; 2) вертикальными;
3) параллельными; 4) перпендикулярными.
Треугольник называется равнобедренным, если у него…
1) все углы равны; 2) две стороны равны;
3) все стороны равны; 4) один угол равен 900
Первый признак равенства треугольников называется…
1) по трём сторонам; 3) по стороне и прилежащим углам;
2) по трём углам; 4) по двум сторонам и углу между ними.
Прямые параллельны, если равны…
1) вертикальные углы; 3) смежные углы;
2) соответственные углы; 4) односторонние углы.
В треугольнике ABC ÐA=ÐC=50°. Установите вид треугольника ABC.
1) равносторонний; 3) равнобедренный;
2) прямоугольный; 4) тупоугольный
Сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу называется…
1) боковой стороной; 2) гипотенузой;
3) основанием; 4) катетом.
Неравенствами треугольника ABC называются…
1) AB>BC+AC; BC>AB+AC; AC>BC+AB.
2) AB>BC-AC; BC>AB-AC; AC>BC-AB.
3) AB 4) AB
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, …
1) и делит углы пополам;
2) и делит угол пополам;
3) и делит сторону пополам;
4) и перпендикулярно основанию.
Часть II
Выбрать правильный вариант ответа. За каждый правильный ответ
Найдите третий угол треугольника, если два его угла 63° 8 51°.
1) 114°; 2) 64°; 3) 93°; 4) 68°
Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 84°.
1) 84° 8 168°; 2) 48° 8 48°; 3) 84° 8 42°; 4) 30° 8 84°
В DABC [email protected]>2545=0 2KA>B0 CD. 0948B5 C3;K DDBC, 5A;8 ÐB=66°.
1) 48°, 66° 8 66°; 3) 24°, 66° 8 90°;
2) 57°, 57° 8 66°; 4) 24°, 36° 8 90°
Часть III
Решите задачи, оформите правильно (рисунок обязательно). За каждую задачу 2,
13. В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C равен 50o, угол CAD равен 30o.Найдите угол B
14. В треугольнике ABC AС = BC, угол C равен 50o. Найдите внешний угол CBD
Объяснение:
Из условия нам известно, что ∠DOC равен пяти углам COB.
Если посмотреть на чертеж, то мы увидим, что ∠DOC и ∠COB смежные, а следовательно, их сумма равна 180°. Для нахождения углов DOC и COB составим линейное уравнение:
Пусть x - ∠DOC, тогда ∠COB - 5x. (угол COB равен 5x, т.к. он в 5 раз больше угла DOC)
Получаем:
x + 5x = 180°
6x = 180°
x = 30° (Это мы нашли x, то есть ∠DOC)
∠COB = 30° * 5 = 150°.
Ну а дальше - дело техники.
∠COD = ∠BOA = 150°(все вертикальные углы равны)
∠BOC = ∠AOD = 30°(все вертикальные углы равны).
Задача решена.
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3 / (2√(5 - 4cos80°))
BB₁ = 3x = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) или
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2