Вариант 1 1)Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ΔАВО = ΔCDO.
2)В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС.
3)Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD.
4)Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90).
а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР?
б) Найдите длину медианы PD.
Вариант 2
1)Дано: АВ = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C. Доказать: ΔАВО = ΔDCO.
2)В равнобедренном треугольнике AВС с основанием АС сумма углов А и С равна 156°. Найти: углы треугольника АВС.
3)Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°).Доказать: АВ || CD.
4)Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92).
а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС?
б) Найдите длину медианы BE.
Решите
ВС=АС*tgA=АС*4/3=4АС/3, СР=АС*sinA=АС*4/5=4АС/5, АВ=АС/cosA=АС/(3/5)=5АС/3, ВР=ВС в квадрате/АВ=(16*АС в квадрате/9)/(5АС/3)=16АС/15, радиус вписанной окружности в ВСР=(СР+ВР-ВС)/2, 60=(СР+ВР-ВС)/2, 120=(4АС/5)+(16АС/15)-(4АС/3), 120=8АС/15, АС=225, ВС=4*225/3=300, АВ=5*225/3=375, радиус вписанной в АВС=(ВС+АС-АВ)/2=(300+225-375)/2=75
угол вда равен углу двс (так как вс и ад - параллельны)
сторона вс треугольника всд относится к стороне вд треугольника авд как
сторона вд треугольника всд относится к стороне ад треугольника авд
треугольники подобны так как подобны попарно две стороны и одинаковы углы между ними
2)углы авс акс асд равны между собой и равны <1 так как опираются на одну дугу окружности
углы ксв кав кса ква равны между собой и равны <2 так как опираются на одну дугу окружности и так как см - биссектриса
угол кма равен 180 - <1 - <2
угол СМД равен 180 - угол кма = <1+<2
угол КСД равен = <1+<2
треугольник КСД - равнобедренный так как два угла равны
искомая сторона СД = МД = х
по свойству секущей АД * ВД = СД*СД
АД = х-7
ВД = х+9
(х-7)(х+9)=х^2
х^2+2x-63=х^2
x=63/2=31,5 - искомое расстояние