Дано : AO =OB =AB/2 ; CO =OD =CD/2. -------------------------------------- Док- ать AO < (AC + AD) /2
Концы отрезков являются вершинами параллелограмма. ( Соединяем точки (концы отрезков) A и С , A и D , B и С , B и D ). Действительно : ΔAOC = ΔBOD ( по первому признаку равенства треугольников) следовательно AC = BD и ∠OAC =∠OBD , но эти углы накрест лежащие , поэтому AC | | DB . И наконец из AC = BD и AC | | DB следует (⇒) четырехугольник AСBD является параллелограммом. Из ΔADB : AB < AD + DB ( неравенство треугольника) ; 2AO < AD +AC ; AO < ( AC+AD) / 2 . * * * что и требовалось доказать * * * см рисунок (приложения
1.В правильной 4угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды если апофема пирамиды равна 8 см.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее четырех граней, или половине произведения периметра основания на апофему. SB=10 SH=8 И без вычисления ясно, что основание боковой грани равно 6*2=12, т.к. половина грани, треугольник АSH, представляет собой "египетский" треугольник с отношением сторон 3:4:5. S ASB=GH*AB:2=8*6:2=24 S боковая =24*4=96 или S боковая =6*4*8:2=96 (рисунок не обязателен) ---------------------------------------------------------------
2.В правильной 3угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см и наклонено к плоскости основы под углом 30гр. Найдите высоту пирамиды.
Высота пирамиды противолежит углу 30 градусов и потому равна половине бокового ребра=10:2=5 см -------------------------------------------------------- 3.В правильной 4угольной пирамиде боковая грань наклонена к основе под углом 60 гр, а ее высота равна 12 см. Найдите апофему пирамиды.
Сечение пирамиды HGM - правильный треугольник, т.к. углы при его основании равны60 гр. GO, высота пирамиды, равна (GH √3 ):2 по формуле высоты правильного треугольника. Можно использовать с таким же результатом и теорему Пифагора, обозначив ОН=х, GH=2x. 12= (GH √3 ):2 24=GH √3 GH=24:√3=24√3:√3*√3=8√3- ответ. Апофема равна 8√3 см --------------------------------------- 4.Найдите площадь полной поверхности правильной 4угольной пирамиды, в которой сторона основы равна 6 см, а боковая грань наклонена к основе под углом 60 гр.
Площадь полной поверхности правильной 4угольной пирамиды равна сумме площади основания(квадрата) и ее 4-х боковых граней (равнобедренных треугольников). Площадь основания равна квадрату его стороны = АВ²=36 см²
Площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды равна сумме площадей ее четырех граней, или половине произведения периметра основания на апофему. Сечение пирамиды по апофемам является правильным треугольником. Апофему боковой гранинайдем из треугольника GHO. Катет НО, как половина стороны основания, равен 3 см, и как противолежащий углу 30 гр при вершине, равен половине апофемы . Отсюда GH=6 см S боковая= GH*АВ*4:2= 6*6*4:2=72 см² S полная=72+36=108 см² ---------------------------------------------------- 5.Найдите площадь полной поверхности правильной 3угольной пирамиды, в которой апофема равна L и образует с высотой пирамиды угол альфа .
Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площади основания и площади ее трех боковых граней Площадь основания равна половине произведения высоты ВН на сторону АС или S=(a²√3):4 или через высоту по формуле S=h²:√3 Все эти формулы вытекают одна из другй, ход этих преобразований приводить здесь нужды нет. Площадь боковой грани вычисляется по классической формуле площади равнобедренного треугольника. Нужно найти: сторону правильного треугольника АВС через его высоту ВН. Основание высоты пирамиды делит высоту ВН в отношении 2:1, считая от В ( по свойству медианы треугольника) ОН:GН равно синусу угла α между апофемой и высотой пирамиды ОН:L=sinα OH=L·sinα ВН=( L·sinα)²=3L·sinα S основания =h²:√3 = 3²(L·sinα)²:√3= умножим числитель и знаменатель на √3 9·√3( L·sinα)²:√3·√3=9·√3( L·sinα)²: 3 =3√3( L·sinα)² Для площади грани нужно знать сторону основания. Найдем ее из высоты ВН ВН=(а√3):2 2ВН=а√3 а=2ВН:√3=6L*sinα:√3=6√3L·sinα: √3·√3=6√3L·sinα: 3=2L·sinα√3 S грани 2L·sinα √3·L:2=L²sinα·√3 S бок=3·L²sinα·√3 Sполная =L²sinα·√3+3√3( L·sinα)² выведем за скобку общие множители Sполная=L²·sinα·(1+ sinα)·√3
AO =OB =AB/2 ;
CO =OD =CD/2.
--------------------------------------
Док- ать AO < (AC + AD) /2
Концы отрезков являются вершинами параллелограмма.
( Соединяем точки (концы отрезков) A и С , A и D , B и С , B и D ).
Действительно :
ΔAOC = ΔBOD ( по первому признаку равенства треугольников)
следовательно AC = BD и ∠OAC =∠OBD , но эти углы накрест лежащие , поэтому AC | | DB . И наконец из AC = BD и AC | | DB следует (⇒)
четырехугольник AСBD является параллелограммом.
Из ΔADB :
AB < AD + DB ( неравенство треугольника) ;
2AO < AD +AC ;
AO < ( AC+AD) / 2 . * * * что и требовалось доказать * * *
см рисунок (приложения
1.В правильной 4угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды если апофема пирамиды равна 8 см.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее четырех граней, или половине произведения периметра основания на апофему.
SB=10
SH=8
И без вычисления ясно, что основание боковой грани равно 6*2=12, т.к. половина грани, треугольник АSH, представляет собой "египетский" треугольник с отношением сторон 3:4:5.
S ASB=GH*AB:2=8*6:2=24
S боковая =24*4=96
или
S боковая =6*4*8:2=96 (рисунок не обязателен)
---------------------------------------------------------------
2.В правильной 3угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см и наклонено
к плоскости основы под углом 30гр. Найдите высоту пирамиды.
Высота пирамиды противолежит углу 30 градусов и потому равна половине бокового ребра=10:2=5 см
--------------------------------------------------------
3.В правильной 4угольной пирамиде
боковая грань наклонена к основе
под углом 60 гр, а ее высота равна 12 см.
Найдите апофему пирамиды.
Сечение пирамиды HGM - правильный треугольник, т.к. углы при его основании равны60 гр.
GO, высота пирамиды, равна (GH √3 ):2 по формуле высоты правильного треугольника. Можно использовать с таким же результатом и теорему Пифагора, обозначив ОН=х, GH=2x.
12= (GH √3 ):2
24=GH √3
GH=24:√3=24√3:√3*√3=8√3-
ответ. Апофема равна 8√3 см
---------------------------------------
4.Найдите площадь полной поверхности правильной 4угольной пирамиды, в которой сторона основы равна 6 см, а боковая грань наклонена к основе под углом 60 гр.
Площадь полной поверхности правильной 4угольной пирамиды равна сумме площади основания(квадрата) и ее 4-х боковых граней (равнобедренных треугольников).
Площадь основания равна квадрату его стороны = АВ²=36 см²
Площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды равна сумме площадей ее четырех граней, или половине произведения периметра основания на апофему.
Сечение пирамиды по апофемам является правильным треугольником.
Апофему боковой гранинайдем из треугольника GHO.
Катет НО, как половина стороны основания, равен 3 см, и как противолежащий углу 30 гр при вершине, равен половине апофемы .
Отсюда GH=6 см
S боковая= GH*АВ*4:2= 6*6*4:2=72 см²
S полная=72+36=108 см²
----------------------------------------------------
5.Найдите площадь полной поверхности правильной 3угольной пирамиды, в которой апофема равна L и образует с высотой пирамиды угол альфа .
Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площади основания и площади ее трех боковых граней
Площадь основания равна половине произведения высоты ВН на сторону АС или S=(a²√3):4 или через высоту по формуле
S=h²:√3
Все эти формулы вытекают одна из другй, ход этих преобразований приводить здесь нужды нет.
Площадь боковой грани вычисляется по классической формуле площади равнобедренного треугольника.
Нужно найти:
сторону правильного треугольника АВС через его высоту ВН.
Основание высоты пирамиды делит высоту ВН в отношении 2:1, считая от В ( по свойству медианы треугольника)
ОН:GН равно синусу угла α между апофемой и высотой пирамиды
ОН:L=sinα
OH=L·sinα
ВН=( L·sinα)²=3L·sinα
S основания =h²:√3 = 3²(L·sinα)²:√3= умножим числитель и знаменатель на √3
9·√3( L·sinα)²:√3·√3=9·√3( L·sinα)²: 3 =3√3( L·sinα)²
Для площади грани нужно знать сторону основания. Найдем ее из высоты ВН
ВН=(а√3):2
2ВН=а√3
а=2ВН:√3=6L*sinα:√3=6√3L·sinα: √3·√3=6√3L·sinα: 3=2L·sinα√3
S грани 2L·sinα √3·L:2=L²sinα·√3
S бок=3·L²sinα·√3
Sполная =L²sinα·√3+3√3( L·sinα)² выведем за скобку общие множители
Sполная=L²·sinα·(1+ sinα)·√3