Дано: треугольник АВС, ∠ABC = 60°, AB=√3, BC=2√3, BE - биссектриса.
Найти:BE
Рассмотрим треугольник АВС.
По теореме косинусов:
AC²=AB²+BC²-2AB*BC*cos∠B
AC² = 3 + 12 - 2*2√3*√3*0,5
AC²=15-6
AC²=9
AC=3 см
Все из того же треугольника ABC по теореме косинусов:
AB²=BC²+AC²-2*BC*AC * cos∠C
3=12+9 - 2*3*2√3 cos∠C
3=21-12√3cos∠C
12√3cos∠C=18
cos∠C = 18/12√3 = 3/2√3
Значит, cos∠C= 3/2√3
Избавимся от иррациональности в знаменателе (домножим числитель и знаменатель дроби на √3)
cos∠C = 3√3/6
Cos∠C = √3/2
∠C = 30°
∠A = 180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°
Видим, что ∠А - прямой, а это значит, что треугольник АВС - прямоугольный
∠ABE = 1/2 ∠ABC = 1/2*60°=30°
Рассмотрим ΔABE (∠A=90°)
cos∠B =
cos30° = √3 / BE
√3/2 = √3/BE
Значит, ВЕ = 2 см
ответ: ВЕ=2 см
1) Периметр трапеции ABCD равен 72 см.
2) Углы четырехугольника, вписанного в окружность:
∠A = 10°; ∠B = 165°; ∠C = 170°; ∠D = 15°.
3)Градусная мера дуги, которую отсекает от окружности большее основание трапеции, равна 305°.
Объяснение:
1) Требуется найти периметр прямоугольной трапеции, в которую вписали окружность.
Дано: АВСД - прямоугольная трапеция.
Окр.О,R;
∠D=30°;
ОМ = 6 см.
Найти: .
Для того, чтобы найти периметр, необходимо найти все стороны трапеции.
1. Рассмотрим АВРК.
⇒ АВРК - прямоугольник.
AB = 2R = 6*2 = 12 (см)
ВР = АК = R = 6 см
2. Рассмотрим ΔНСD - прямоугольный (СН - высота).
∠D = 30°
⇒ CD = 2*CH = 12 * 2 = 24 (см)
3. CD = CE + ED = 24 см.
⇒ PC = CE; KD = DE.
или РС + KD = 24 см.
4. Теперь найдем периметр трапеции ABCD.
= AB + BC + CD + AD = AB +BP + PC + CD + AK + KD =
= 12 + 6 + 24 +24 + 6 = 72 (см)
Периметр трапеции ABCD равен 72 см.
2) Требуется найди все углы четырехугольника, вписанного в окружность.
Дано: ABCD - вписанный четырехугольник.
∠C + ∠D = 185°; ∠C - ∠D = 155°
Найти: ∠A; ∠B; ∠C; ∠D.
Так нам дана сумма углов, равная 185°, то рассматривать противоположные углы мы не можем. Поэтому выбрали ∠С и ∠D.
1. По условию
∠C + ∠D = 185°
∠C - ∠D = 155°
Сложив эти два уравнения, получим:
2∠С = 340° |:2
∠C = 170°
Подставив это значение в любое из уравнений, получим
∠D = 15°
2. Теперь найдем остальные углы четырехугольника, вписанного в окружность.
∠A + ∠C = 180° ⇒ ∠A = 180° - 170° = 10°
∠B + ∠D = 180° ⇒ ∠B = 180° - 15° = 165°
Углы четырехугольника, вписанного в окружность:
3) Требуется найди градусную меру дуги, которую отсекает от окружности большее основание трапеции.
Дано: Окр.О;
ABCD - трапеция, вписанная в окружность.
∪АВ = 20°; ∪ВС = 15°
Найти: ∪АmD.
⇒ ABCD - равнобедренная трапеция, то есть
AB = CD.
⇒ ∪АВ = ∪CD = 20°
⇒ ∪АmD = 360° - (∪АВ + ∪ВС +∪CD) = 360° - 55° = 305°
Градусная мера дуги, которую отсекает от окружности большее основание трапеции, равна 305°.
Дано: треугольник АВС, ∠ABC = 60°, AB=√3, BC=2√3, BE - биссектриса.
Найти:BE
Рассмотрим треугольник АВС.
По теореме косинусов:
AC²=AB²+BC²-2AB*BC*cos∠B
AC² = 3 + 12 - 2*2√3*√3*0,5
AC²=15-6
AC²=9
AC=3 см
Все из того же треугольника ABC по теореме косинусов:
AB²=BC²+AC²-2*BC*AC * cos∠C
3=12+9 - 2*3*2√3 cos∠C
3=21-12√3cos∠C
12√3cos∠C=18
cos∠C = 18/12√3 = 3/2√3
Значит, cos∠C= 3/2√3
Избавимся от иррациональности в знаменателе (домножим числитель и знаменатель дроби на √3)
cos∠C = 3√3/6
Cos∠C = √3/2
∠C = 30°
∠A = 180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°
Видим, что ∠А - прямой, а это значит, что треугольник АВС - прямоугольный
∠ABE = 1/2 ∠ABC = 1/2*60°=30°
Рассмотрим ΔABE (∠A=90°)
cos∠B =
cos30° = √3 / BE
√3/2 = √3/BE
Значит, ВЕ = 2 см
ответ: ВЕ=2 см
1) Периметр трапеции ABCD равен 72 см.
2) Углы четырехугольника, вписанного в окружность:
∠A = 10°; ∠B = 165°; ∠C = 170°; ∠D = 15°.
3)Градусная мера дуги, которую отсекает от окружности большее основание трапеции, равна 305°.
Объяснение:
1) Требуется найти периметр прямоугольной трапеции, в которую вписали окружность.
Дано: АВСД - прямоугольная трапеция.
Окр.О,R;
∠D=30°;
ОМ = 6 см.
Найти:
.
Для того, чтобы найти периметр, необходимо найти все стороны трапеции.
1. Рассмотрим АВРК.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.⇒ АВРК - прямоугольник.
AB = 2R = 6*2 = 12 (см)
Противоположные стороны прямоугольника равны.ВР = АК = R = 6 см
2. Рассмотрим ΔНСD - прямоугольный (СН - высота).
∠D = 30°
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.⇒ CD = 2*CH = 12 * 2 = 24 (см)
3. CD = CE + ED = 24 см.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.⇒ PC = CE; KD = DE.
или РС + KD = 24 см.
4. Теперь найдем периметр трапеции ABCD.
Периметр - сумма длин всех сторон.= 12 + 6 + 24 +24 + 6 = 72 (см)
Периметр трапеции ABCD равен 72 см.
2) Требуется найди все углы четырехугольника, вписанного в окружность.
Дано: ABCD - вписанный четырехугольник.
∠C + ∠D = 185°; ∠C - ∠D = 155°
Найти: ∠A; ∠B; ∠C; ∠D.
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна 180°.Так нам дана сумма углов, равная 185°, то рассматривать противоположные углы мы не можем. Поэтому выбрали ∠С и ∠D.
1. По условию
∠C + ∠D = 185°
∠C - ∠D = 155°
Сложив эти два уравнения, получим:
2∠С = 340° |:2
∠C = 170°
Подставив это значение в любое из уравнений, получим
∠D = 15°
2. Теперь найдем остальные углы четырехугольника, вписанного в окружность.
∠A + ∠C = 180° ⇒ ∠A = 180° - 170° = 10°
∠B + ∠D = 180° ⇒ ∠B = 180° - 15° = 165°
Углы четырехугольника, вписанного в окружность:
∠A = 10°; ∠B = 165°; ∠C = 170°; ∠D = 15°.
3) Требуется найди градусную меру дуги, которую отсекает от окружности большее основание трапеции.
Дано: Окр.О;
ABCD - трапеция, вписанная в окружность.
∪АВ = 20°; ∪ВС = 15°
Найти: ∪АmD.
Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.⇒ ABCD - равнобедренная трапеция, то есть
AB = CD.
Равные хорды стягивают равные дуги.⇒ ∪АВ = ∪CD = 20°
Градусная мера всей окружности равна 360 °.⇒ ∪АmD = 360° - (∪АВ + ∪ВС +∪CD) = 360° - 55° = 305°
Градусная мера дуги, которую отсекает от окружности большее основание трапеции, равна 305°.