В правильной шестиугольной призме A B C D E F A 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ E 1 ​ F 1 ​ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми C C 1 ​ и F E 1 ​ . ответ дайте в градусах.

Первый
Пусть M — точка внутри параллелограмма ABCD, P и Q — её проекции на прямые BC и AD. Тогда
S(MBC) + S(AMD) = BC . MP + AD . MQ =
= AD . (MP + MQ) = AD . PQ,
причём PQ — высота параллелограмма ABCD. Поэтому найденная сумма равна половине площади параллелограмма.
Второй
Через точку M, взятую внутри параллелограмма ABCD, проведём прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые разбивают параллелограмм на четыре меньших параллеллограмма. Диагонали AM, BM, CM и DM разбивают каждый из этих четырёх параллелограммов на два равных треугольника. Отсюда следует утверждение задачи.

Мы знаем, во-первых, теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, где a,b - катеты, c - гипотенуза. В нашем случае, раз треугольник равнобедренный, то a=b и теорема примет вид:
a^2 + a^2 = c^2
2 * a^2 = c^2
Во-вторых, мы знаем выражение для площади прямоугольного треугольника: S = 1/2 * a * b (частный случай формулы площади в общем виде, где S = 1/2 * a * h). Зная, что a = b, площадь примет вид:
S = 1/2 * a * a = 1/2 * a^2
Сопоставляя первое и второе выражения, видим, что c^2 = 4 * S
Отсюда, подставляя имеющееся значение:
c^2 = 4 * 50 = 200
c = корень из 200 = 2 * (корень из 10)