В ∆ABC: ∠B = 90°, AC = 10, ∠A = 27°. Найди: AB, BC, ∠C. ответ округли до целых.

Дано: боковое ребро L = 8 см, угол β = 30°.

В правильной треугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h (высоты основания).

(2/3)h = 8*cos 30° = 8√3/2 = 4√3 см.

Высота основания h = (3/2)*4√3 = 6√3 см.

Отсюда находим сторону а основания:

а = h/cos 30° = 6√3/(√3/2) = 12 см.

Высота пирамиды Н =  L *sin 30° = 8*(1/2) = 4 см.

Апофема А боковой грани равна:

А = √(Н² + (h/3)²) = √(16 + (6√3/3)²) = √(16 + 12) = √28 = 2√7 ≈ 5,2915 см.

Площадь основания So = a²√3/4 = 12²√3/4 = 36√3 ≈ 62,3538 см².

Площадь Sбок боковой поверхности равна:

Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(3*12)*(2√7) = 36√7 ≈ 95,247 см².

Полная поверхность равна:

S = So + Sбок = 62,3538 + 95,247 = 157,6008 см².

Объём V = (1/3)SoH = (1/3)*62,3538*4 = 83,1384 см³.

Если все грани наклонены под одинаковыми углами, то высота пирамиды падает в центр вписанной окружности, то есть в точку О пересечения биссектрис треугольника.
Треугольник со сторонами 5, 12 и 13 - прямоугольный, угол С - прямой.
AC = 5; BC = 12; AB = 13
Периметр треугольника P = 5 + 12 + 13 = 30; площадь S = 5*12/2 = 30
Найдем радиус вписанной окружности.
r = OK = OM = ON = 2S/P = 2*30/30 = 2 см
Высота H = OD = 4√2 см
Апофемы, перпендикулярные к ребрам основания
DK = DM = DN = √(r^2 + H^2) = √(4 + 16*2) = √36 = 6 см
Площади боковых граней
S(ABD) = DN*AB/2 = 6*13/2 = 3*13 = 39 кв.см.
S(ACD) = DK*AC/2 = 6*5/2 = 3*5 = 15 кв.см.
S(BCD) = DM*BC/2 = 6*12/2 = 6*6 = 36 кв.см.
S(бок) = S(ABD) + S(ACD) + S(BCD) = 39 + 15 + 36 = 90 кв.см.