Поскольку других размеров не дано, надо думать, данный тетраэдр - правильный. Следовательно, все его 4 грани - правильные треугольники, а площадь одной грани равна 16√3:4=4√3 Площадь правильного треугольника находят по формуле S=(а²√3):4 4√3=(а²√3):4, откуда а=4. т.е. ребро данной пирамиды равно 4. Тогда треугольник ВРТ тоже правильный, т.к. Р и Т - середины ребер, и стороны треугольника ВРТ равны 2. Пусть точки касания вписанной в него окружности будут на ребре BD -К, на ребре ВС -Н В четырехугольнике КВНО углы при К и Н - прямые, угол В=60°. Т.к. сумма углов четырехугольника равна 360°, а сумма углов К и Н=90°*2=180°, то угол КОН равен 180°- 60°=120°. Т.е. дуга КН=120°, и ее длина равна 360°:120°=одной трети длины вписанной в треугольник ВРТ окружности. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности а:2√3 Радиус данной вписанной окружности 2:2√3=1/√3 см Длина этой окружности L=2πr=2π:√3 см Длина дуги градусной мерой 120° равна одной трети длины всей окружности. Следовательно, длина дуги КН=(2π:√3):3 или (2π√3):9 см
Сделаем рисунок. Пусть центр большей окружности будет М, меньшей - Н Заметим сразу, что точка В, взятая на большей окружности, не является точкой касания прямой ВС и этой окружности, т.е. угол МВС - не прямой. . ВС можем найти из прямоугольного треугольника ВСН, где СН=R=7. ВН можно найти по т. косинусов из треугольника ВМН, в котором известны две стороны, а косинус угла ВМН можно найти. Рассмотрим треугольник АМВ. По т.косинусов АВ²=ВМ²+АМ² -2*ВМ*АМ*cos АМВ 144=81+81-2*81*cos АМВ -18=- 162*cos АМВ cos АМВ=1/9 В треугольнике ВМН ВН²=ВМ²+МН²-2*ВМ*ВН*cos НМВ cos НМВ=cos АМВ=1/9 МН=9+7=16 ВН²=9²+16²-2*9*16*1/9 ВН²=305 Из треугольника ВСН ВС²=ВН²-СН² ВС=√(305-49) BC=√256=16
Следовательно, все его 4 грани - правильные треугольники, а
площадь одной грани равна 16√3:4=4√3
Площадь правильного треугольника находят по формуле
S=(а²√3):4
4√3=(а²√3):4, откуда
а=4. т.е. ребро данной пирамиды равно 4.
Тогда треугольник ВРТ тоже правильный, т.к. Р и Т - середины ребер, и стороны треугольника ВРТ равны 2.
Пусть точки касания вписанной в него окружности будут
на ребре BD -К, на ребре ВС -Н
В четырехугольнике КВНО углы при К и Н - прямые, угол В=60°.
Т.к. сумма углов четырехугольника равна 360°, а
сумма углов К и Н=90°*2=180°, то
угол КОН равен 180°- 60°=120°.
Т.е. дуга КН=120°, и ее длина равна 360°:120°=одной трети длины вписанной в треугольник ВРТ окружности.
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности а:2√3
Радиус данной вписанной окружности 2:2√3=1/√3 см
Длина этой окружности L=2πr=2π:√3 см
Длина дуги градусной мерой 120° равна одной трети длины всей окружности.
Следовательно, длина дуги
КН=(2π:√3):3 или (2π√3):9 см
Пусть центр большей окружности будет М, меньшей - Н
Заметим сразу, что точка В, взятая на большей окружности, не является точкой касания прямой ВС и этой окружности, т.е. угол МВС - не прямой. .
ВС можем найти из прямоугольного треугольника ВСН, где СН=R=7.
ВН можно найти по т. косинусов из треугольника ВМН, в котором известны две стороны, а косинус угла ВМН можно найти.
Рассмотрим треугольник АМВ.
По т.косинусов АВ²=ВМ²+АМ² -2*ВМ*АМ*cos АМВ
144=81+81-2*81*cos АМВ
-18=- 162*cos АМВ
cos АМВ=1/9
В треугольнике ВМН
ВН²=ВМ²+МН²-2*ВМ*ВН*cos НМВ
cos НМВ=cos АМВ=1/9
МН=9+7=16
ВН²=9²+16²-2*9*16*1/9
ВН²=305
Из треугольника ВСН
ВС²=ВН²-СН²
ВС=√(305-49)
BC=√256=16