Упростите вектор AB + BK - AM

 Перпендикуляр, проведенный через середину боковой стороны равнобедренного треугольника,  делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки 17 см и 8 см, считая от вершины.
Найти площадь и периметр данного треугольника.

Обозначим вершины треугольника А, В, С, причем АВ=ВС. 

Т.к. ∆ АВС - равнобедренный, высота ВН, проведенная к основанию, является медианой, и, следовательно, ВН - срединный перпендикуляр. Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника - центр описанной вокруг него окружности. 

Расстояние от О  до вершин А, В и С равно радиусу.  R=ВО=СО=17 см. 

∆ СОН - прямоугольный, его гипотенуза и один из катетов - из Пифагоровых троек ( 8, 15,17), ⇒,  НС=15 см ( проверьте по т.Пифагора).

Отсюда АС=2•15=30 см

По т.Пифагора  AB=ВС=√(BH*+CH*)=√(625+225)=√850=5√34 см

Р=30+2•5√34=10•(3+√34) см

S=BH•CH=375 см²

На рисунке вопроса четырехугольник похож на ромб. В ромб можно вписать окружность, но и в некоторые другие четырехугольники - тоже.

Объяснение:  

 Стороны четырехугольника, в который вписана окружность, - касательные к ней.  

 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. (По т. о касательных)

 Примем отрезки касательных из т. А равными а, из т.В равными b, из т. С - равными с и из точки Д равными d. ( см. рисунок в приложении),

Тогда АВ=а+b, СD=с+d ⇒ АВ+СD=a+b+c+d

Аналогично ВС= b+c, АD=a+d ⇒ BC+AD=a+b+c+d. ⇒

АВ+СD=BC+AD - доказано.

Вывод: суммы длин противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.

Или иначе: если суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны, в него можно вписать окружность.