У паралелограмі ABCD через точку О перетину діагоналей проведено пряму, яка перетинає сторони BC i AD в точках E i F. Знайдіть сторони BC та AD паралелограма, якщо BE = 5 см, AF = 4 см.
Розв'язання: Проведемо медіану до основи BC у точку K, тоді CK = BK =
= BC : 2 = 10 : 2 = 5 см.Нехай медіани AK і BM - перетинаються в
точці O.За теоремою про медіану, медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини кута.Введемо коефіціент пропорційності y, тоді BO = 2y,MO = y, так як медіани AK і BM - перетинаються в точці O.
BM = BO + MO;
8 = 2y + y;
8 = 3y;
y = ;
BO = 2y = 2 * ; MO = y = ;
За властивістю рівнобедренного трикутника медіана проведена до основи є бісектрисою і висотою, тоді за теоремою Піфагора: ;
Введемо коефіціент пропорційності x, тоді OK = x, AO = 2x за теоремою про медіану, так як медіани AK і BM - перетинаються в точці O.
AK = OK + AO;
AK = x + 2x = 3x = 3*OK = ;
За властивістю рівнобедренного трикутника медіана проведена до основи є бісектрисою і висотою, тоді за теоремою Піфагора:
AB = AC = см
Объяснение:
Дано:
AC = AB, BC = 10 см, BM = 8 см, CM = MA
Знайти: AC,AB - ?
Розв'язання: Проведемо медіану до основи BC у точку K, тоді CK = BK =
= BC : 2 = 10 : 2 = 5 см.Нехай медіани AK і BM - перетинаються в
точці O.За теоремою про медіану, медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини кута.Введемо коефіціент пропорційності y, тоді BO = 2y,MO = y, так як медіани AK і BM - перетинаються в точці O.
BM = BO + MO;
8 = 2y + y;
8 = 3y;
y = ;
BO = 2y = 2 * ; MO = y = ;
За властивістю рівнобедренного трикутника медіана проведена до основи є бісектрисою і висотою, тоді за теоремою Піфагора: ;
Введемо коефіціент пропорційності x, тоді OK = x, AO = 2x за теоремою про медіану, так як медіани AK і BM - перетинаються в точці O.
AK = OK + AO;
AK = x + 2x = 3x = 3*OK = ;
За властивістю рівнобедренного трикутника медіана проведена до основи є бісектрисою і висотою, тоді за теоремою Піфагора:
Так як AB = BC за умовою, то AB = AC = см.
1) Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения биссектрис.
Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой и медианой.
MO - биссектриса, KE - биссектриса, высота и медиана.
ME=EN=10
По теореме Пифагора
KE =√(MK^2-ME^2) =12*2 =24
По теореме о биссектрисе
KO/OE =MK/ME =13/5 => OE =5/18 KE =20/3
Или по формулам
S=pr
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где p=(a+b+c)/2
Отсюда
r=√[(p-a)(p-b)(p-c))/p]
при a=b
r=c/2 *√[(a -c/2)/(a +c/2)] =10*√(16/36] =20/3
3) Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой, K=90
MN =2*OM =26
По теореме Пифагора
KN =√(MN^2-MK^2) =5*2 =10
P(KMN) =2(5+12+13) =60