Три населених пункти А, В. С розміщені так, що дороги які їх 3'єднують утворюють трикутник. Відстань між А і В становить 24км, між В і С -36км. Дороги, які ведуть з міста В у міста А i С утворюють кут 60°. Яка відстань між містами А і С? Де потрібно розмiстити АЗС, шоб відстань з усіх міст до неї була однаковою? Результати округлити до сотих.
плоскость параллельна диагонали BD =>
через вершину А можно провести прямую B1D1 || BD
из точек B и D опустим перпендикуляры на плоскость, они (перпендикуляры) будут равны и равны расстоянию от BD до плоскости BB1 = DD1 = 5
по условию AB1 = 8, AD1 = 7 - проекции сторон
найдем стороны параллелограмма из получившихся прямоугольных треугольников:
AD^2 = AD1^2 + D1D^2 = 49+25 = 74
AB^2 = AB1^2 + B1B^2 = 64+25 = 89
в параллелограмме известно соотношение:
сумма квадратов диагоналей = 2*(AD^2 + AB^2) = 2*(74+89) = 2*163 = 326
BD^2 + AC^2 = 326
AC^2 = 326 - 81 = 245
AC = корень(245)
ΔАВН: ∠АНВ = 90°,
sin α = BH / AB, ⇒ BH = AB·sinα = 6sinα,
cos α = AH / AB, ⇒ AH = AB·cosα = 6cosα.
ВН = СК как расстояния между параллельными прямыми, ВН║СК как перпендикуляры к одной прямой, значит ВСКН - прямоугольник, ⇒
НК = ВС = 10 см.
ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету (АВ = CD так как трапеция равнобедренная, ВН = СК), ⇒
СК = АН = 6cosα.
AD = AH + HK + CK = 6cosα + 10 + 6cosα = 10 + 12cosα.
Pabcd = AB + BC + CD + AD = 6 + 10 + 6 + 10 + 12cosα = 32 + 12cosα (см)
Sabcd = (BC + AD)/2 · BH
Sabcd = (10 + 10 + 12cosα)/2 · 6sinα = (10 + 6 cosα) · 6sinα =
= 60sinα + 18sin2α см²