Точка М М = (А+С)/2 = ((-5; -7; 3) + (3; 5; -5))/2 = (-2; -2; -2)/2 = (-1; -1; -1) Вектор ВМ ВМ = М - В = (-1; -1; -1) - (4; 2; -2) = (-5; -3; 1) Вектор АС АС = С - А = (3; 5; -5) - (-5; -7; 3) = (8; 12; -8) Скалярное произведение АС и ВМ АС·ВМ = 8*(-5) + 12*(-3) - 8*1 = - 40 - 36 - 8 = - 84 Модули векторов |АС| = √(8² + 12² + 8²) = √272 = 4√17 |BM| = √(5² + 3² + 1²) = √35 Косинус угла между векторами cos(β) = АС·ВМ/(|АС|*|BM|) = -84/(4√17*√35) = -3√(7/85)
Внутренний угол ∠АМВ треугольника АВМ тупой, и равен arccos(-3√(7/85)) ≈ 149.4° В качестве угла между прямыми принято указывать острый угол 180 - arccos(-3√(7/85)) ≈ 30.6°
Пусть сторона основания ( правильного шестиугольника ) равна а , тогда по свойству шестиугольника его сторона СЕ в два раза меньше его большей диагонали CD => CD = 2a
S бок. пов. = Р осн. × h, где h - высота призмы ( боковое ребро )
180 = 6а × h h = 180 / 6a = 30 / a
В правильной шестиугольной призме все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Значит, ∆ KCD - прямоугольный По теореме Пифагора: KD² = KC² + CD² KC² = KD² - CD²
М = (А+С)/2 = ((-5; -7; 3) + (3; 5; -5))/2 = (-2; -2; -2)/2 = (-1; -1; -1)
Вектор ВМ
ВМ = М - В = (-1; -1; -1) - (4; 2; -2) = (-5; -3; 1)
Вектор АС
АС = С - А = (3; 5; -5) - (-5; -7; 3) = (8; 12; -8)
Скалярное произведение АС и ВМ
АС·ВМ = 8*(-5) + 12*(-3) - 8*1 = - 40 - 36 - 8 = - 84
Модули векторов
|АС| = √(8² + 12² + 8²) = √272 = 4√17
|BM| = √(5² + 3² + 1²) = √35
Косинус угла между векторами
cos(β) = АС·ВМ/(|АС|*|BM|) = -84/(4√17*√35) = -3√(7/85)
Внутренний угол ∠АМВ треугольника АВМ тупой, и равен arccos(-3√(7/85)) ≈ 149.4°
В качестве угла между прямыми принято указывать острый угол
180 - arccos(-3√(7/85)) ≈ 30.6°
НАЙТИ: S осн.
__________________________
РЕШЕНИЕ:
Пусть сторона основания ( правильного шестиугольника ) равна а , тогда
по свойству шестиугольника его сторона СЕ в два раза меньше его большей диагонали CD => CD = 2a
S бок. пов. = Р осн. × h, где h - высота призмы ( боковое ребро )
180 = 6а × h
h = 180 / 6a = 30 / a
В правильной шестиугольной призме все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Значит, ∆ KCD - прямоугольный
По теореме Пифагора:
KD² = KC² + CD²
KC² = KD² - CD²
h² = 13² - ( 2a )²
( 30 / a )² = 13² - ( 2a )²
900 / a² = 169 - 4a²
- 4a⁴ + 169a² = 900
4a⁴ - 169a² + 900 = 0
Пусть а² = t , t > 0 , тогда
4t² - 169t + 900 = 0
D = ( - 169 )² - 4 × 4 × 900 = 28561 - 14400 = 14161 = 119²
t = 6,25
t = 36
Обратная замена:
а² = 6,25
а² = 36
а = 2,5
а = 6
По моему, здесь не достаточно данных, чтобы точно определить площадь основания призмы. Поэтому
Площадь шестиугольника вычисляется по формуле :
S осн. = 3√3 а² / 2 = 3√3 × 6,25 / 2 = 9,375√3
ИЛИ
S осн. = 3√3 × 36 / 2 = 54√3
ОТВЕТ: 9,375√3 или 54√3 см²