Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точки А (1; -2; 3) и В (2; 0; 4).

Обозначим наклонные L1=18   ; L2 = 2√109.

Проекции  l1 = 3x  ;  l2= 4x

Пусть проекция точки А на плоскость – точка А1

АА1 – перпендикуляр к  плоскости.

Между проекций и перпендикуляром прямой угол.

Наклонная, проекция и перпендикуляр  образуют прямоугольный треугольник.

Наклонная – ГИПОТЕНУЗА

Проекция и перпендикуляр  - КАТЕТЫ

Имеем два прямоугольных  треугольника, с общей стороной – АА1.

По теореме Пифагора

АА1^2= L1^2-l1^2=18^2-(3x)^2  - для первого  треугольника

АА1^2= L2^2-l2^2=(2√109)^2-(4x)^2    - для первого  треугольника

Приравняем правые части

18^2-(3x)^2  = (2√109)^2-(4x)^2   

324-9x^2  = 436-16x^2   

7x^2= 112

X^2=16

X= 4

Тогда проекция  l1=3x=3*4=12

АА1^2= 18^2-12^2  =180

AA1 =6 √5

ответ   6 √5

АВ=ВС=25  - треугольник равнобедренный   АВ; ВС  - боковые стороны

АС=48  - основание

Построим  высоту ВК – в равнобедренном треугольнике высота совпадает с  медианой

И делит противоположную сторону пополам.

Тогда  по теореме Пифагора 

BK^2 =AB^2 – (AC/2)^2=25^2-(48/2)^2=49

Высота  ВК=7

Расстояние от точки D до прямой AC  - обозначим DK – это перпендикуляр/наклонная.

Проекция этой наклонной – высота BK  в треугольнике ABC.

По теореме о трех перпендикулярах – треугольник  BDK – прямоугольный  - < KBD=90 град

Тогда  по теореме Пифагора 

DK^2 =BK^2 +BD^2 = 7^2 +(√15)^2 =64

DK = 8 

ответ  8