с рисунком и решением

>>> идёт оформление рисунка <<< ожидайте ...

Задача решается через векторы.
Построим вектор ;

Середина D отрезка AB может быть найдена откладыванием половины вектора от точки A

;

Итак D( -9+4, 10-3 ) = D( -5, 7 ) ;

От точки D нужно отложить вектор высоты в обе возможные стороны

Вектор высоты перпендикулярен вектору основания , а значит его проекции накрест-пропорциональны с противоположным знаком:

(I) , что непосредственно следует из скалярного произведения, поскольку для перпендикулярных векторов должно выполняться: (II) ;

Таким образом вектор пропорционален вектору , поскольку для вектора выполняется и равенство (I) и равенство (II) осталось лишь найти масштаб вектора ;

Вектор имеет длину ;

Аналогично, AB = 10

При этом, поскольу треугольник равносторонний, то значит его высота составляет , т.к ;

Значит , а стало быть ;

В итоге .

Откладываем этот вектор в разные стороны (+\-) от точки D( -5, 7 ) и получаем:

ОТВЕТ:

/// примечание: ;

/// примечание: .

1) Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения биссектрис.

Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой и медианой.

MO - биссектриса, KE - биссектриса, высота и медиана.

ME=EN=10

По теореме Пифагора

KE =√(MK^2-ME^2) =12*2 =24

По теореме о биссектрисе

KO/OE =MK/ME =13/5 => OE =5/18 KE =20/3  

Или по формулам

S=pr

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где p=(a+b+c)/2

Отсюда

r=√[(p-a)(p-b)(p-c))/p]

при a=b

r=c/2 *√[(a -c/2)/(a +c/2)] =10*√(16/36] =20/3

 

3) Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой, K=90

MN =2*OM =26

По теореме Пифагора

KN =√(MN^2-MK^2) =5*2 =10

P(KMN) =2(5+12+13) =60