С ПОДРОБНЫМ ОБЪЯСНЕНТЕМ

1 рисунок
Дано: FABCD – правильная пирамида, MN || AC. Докажите, что MN перпендикулярен (BDF).
2рисунок
Дано: FABCD – правильная пирамида, FO перпедикулярен (ABC). Докажите, что FD перпендикулярен AC.
3 рисунок
Дано: FABC – правильная пирамида, FO перпендикулярен (ABC). Докажите, что (ABC) перпендикулярен (AFK).

Найдем координаты четвертой вершины D, используя свойство диагоналей ромба : они в точке пересечения делятся  пополам.

Пусть О(х;у)- середина диагонали АС, тогда х=(4-3)/2=0.5; у=(1+0)/2=0.5

О(0.5;0.5), но это и середина ВD, чтобы найти координаты точки D, надо от удвоенных координат точки О отнять соотв. координаты точки В. получим D((1-0);(1-4)); D(1;-3).

АС=√(49+1)=5√2

ВD=√(1+49)=5√2, чтобы найти длину диагонали, от координат конца отняли координаты начала, возвели в квадрат, извлекли корень квадратный.

Аналогично АВ=√(9+16)=5

Периметр ромба равен 4*АВ=4*5=20

Площадь равна половине произведения диагоналей. т.е. 5√2*5√2/2=25/ед. кв./

r= 1/2*√mn

Объяснение:

Если вокруг трапеции можно описать окружность, то это только равнобокая трапеция. Проведем две высоты из вершин основания m к основанию n. Получили два равных прямоугольных тр-ка и прямоугольник. Катет входящий в основание a = (m-n)/2

h=2r

боковая сторона трапеции b = √a^2 + h^2 = (m-n)^2 /4 + 4r^2

Т.к. в 4-х уголник вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна сумме других противоположных сторон

m+n=2b

Возведем обе части в квадрат,чтоб избавится от корня

(m+n)^2=(2b)^2

(m+n)^2=(m-n)^2 + 16r^2

16r^2 = (m+n)^2 - (m-n)^2 = (m+n - m+n)*(m+n + m-n)=2n*2m=4mn

r^2 = mn/4

r= 1/2*√mn