Как известно, сумма квадратов косинусов углов между диагональю прямоугольного параллелепипеда и ребрами, исходящими из одной вершины, равна 1. Поскольку косинус 60 градусов равен 1/2, получаем
(1/2)^2+(1/2)^2+cos^2 Ф=1⇒cos^2 Ф =1/2; cos Ф=√2/2; Ф=45°
Если Вы эту формулу не знаете, давайте выведем ее. Воспользуемся тем, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, то есть ребер, выходящих из одной вершины: a^2+b^2+c^2=d^2, а тогда (a/d)^2+(b/d)^2+(c/d)^2=1. Отношения a/d; b/d; c/d и являются косинусами нужных углов.
Для складання рівняння прямої чинна шкільна програма з геометрії пропонує робити це так: Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки А (4;–1) та В (–6;2). Розв'язання: Оскільки ані абсциси, ані ординати точок не рівні, то пряма АВ не паралельна ні вісі абсцис, ні вісі ординат. Це означає, що потрібно шукати рівняння прямої у вигляді y = kx + m. За умовою координати точок задовольняють шукане рівняння, тобто
Розв'язуючи цю систему віднімемо від першого рівняння друге і отримаємо значення коефіцієнту k.
Підставляємо знайдений коефіцієнт k у перше рівняння й знаходимо m.
Нарешті можемо записати шукане рівняння у вигляді y = kx + m:або у вигляді ax + by + c = 0:
Відповідь: рівняння прямої має вигляд y = –0,3x + 0,2 або 3x + 10y – 2 = 0. Однак, для складання рівняння прямої, що проходить через дві точки є простіший і, до того ж, цілком законний б.Для його виведення нам доведеться пригадати теорему про пропорційні відрізки, яка, як відомо, формулюється так: Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки. Це означає, що у випадку, зображеному на малюнку
Візьмемо тепер в прямокутній системі координат дві довільні точки А (x1;y1) і В (x2;y2), проведемо через них пряму, та позначимо на ній довільну точку С (x;y).
Відповідно до теореми про пропорційні відрізки і , а значить Все, маємо формулу, за до якої тепер легко написати рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Розв'яжемо попередню задачу з використанням виведеної формули: Маємо А (4;–1), В (–6;2). Нехай координати точки А будуть першими, а координати точки В – другими. Використовуючи формулу записуємо:
За основною властивістю пропорції з виразу отримуємо:Розкриваємо дужки, зводимо подібні доданки:Відповідь: 3x + 10y – 2 = 0.
(1/2)^2+(1/2)^2+cos^2 Ф=1⇒cos^2 Ф =1/2; cos Ф=√2/2; Ф=45°
Если Вы эту формулу не знаете, давайте выведем ее. Воспользуемся тем, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, то есть ребер, выходящих из одной вершины: a^2+b^2+c^2=d^2, а тогда (a/d)^2+(b/d)^2+(c/d)^2=1.
Отношения a/d; b/d; c/d и являются косинусами нужных углов.
Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки А (4;–1) та В (–6;2).
Розв'язання:
Оскільки ані абсциси, ані ординати точок не рівні, то пряма АВ не паралельна ні вісі абсцис, ні вісі ординат. Це означає, що потрібно шукати рівняння прямої у вигляді y = kx + m.
За умовою координати точок задовольняють шукане рівняння, тобто
Розв'язуючи цю систему віднімемо від першого рівняння друге і отримаємо значення коефіцієнту k.
Підставляємо знайдений коефіцієнт k у перше рівняння й знаходимо m.
Нарешті можемо записати шукане рівняння у вигляді y = kx + m:або у вигляді ax + by + c = 0:
Відповідь: рівняння прямої має вигляд y = –0,3x + 0,2 або 3x + 10y – 2 = 0.
Однак, для складання рівняння прямої, що проходить через дві точки є простіший і, до того ж, цілком законний б.Для його виведення нам доведеться пригадати теорему про пропорційні відрізки, яка, як відомо, формулюється так:
Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.
Це означає, що у випадку, зображеному на малюнку
Візьмемо тепер в прямокутній системі координат дві довільні точки А (x1;y1) і В (x2;y2), проведемо через них пряму, та позначимо на ній довільну точку С (x;y).
Відповідно до теореми про пропорційні відрізки
і , а значить
Все, маємо формулу, за до якої тепер легко написати рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.
Розв'яжемо попередню задачу з використанням виведеної формули:
Маємо А (4;–1), В (–6;2). Нехай координати точки А будуть першими, а координати точки В – другими.
Використовуючи формулу записуємо:
За основною властивістю пропорції з виразу отримуємо:Розкриваємо дужки, зводимо подібні доданки:Відповідь: 3x + 10y – 2 = 0.