Треугольники ВСН и АСН подобны, их сходственные стороны относятся как периметры ВС:АС=12:5 ⇒ ВС=12·АС/5 Пусть АС=х, тогда ВС=12х/5, по теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС²=х²+144х²/25=169х²/25 АВ=13х/5
Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и половине произведения гипотенузы на высоту, то ВС·АС=АВ·СН 12х²/5=13·СН·х/5 12х=13СН СН=12х/13
Из условия ВС+СН+ВН=12 АС+СН+АН=5 ⇒ ВС+СН+ВН+АС+СН+АН=17 ⇒ Р=17-2·СН
или 12х/5 +12х/13 + ВН=12 х+12х/13+АН=5 складываем 12х/5 +12х/13+ВН + х +12х/13+ АН=17, но АН+ВН=АВ=13х/5 12х/5 +24х/13+х + 13х/5=17, х=13/6 СН=12х/13=12·13/6·13=2 Р= 17-2·СН=17-2·2=13 ответ. P(Δ АВС) =13 см
1) Дано: прямоугольный треугольник АВС. С=90 град. АВ - гипотенуза, АС катет, причем АВ=2АС. Доказать, что угол В=30 град. Док-во: продолжим прямую АС и отметим на ней точку К, АС=СК. Треугольники АВС и ВСК равны (по двум катетам - признак равенства прямоугольных треугольников). Тогда равны и стороны АВ и ВК. То есть треугольник АВК - равносторонний ( все углы по 60 град) и ВС является одновременно высотой, медианой и биссектрисой. То есть угол АВС=половине угла АВК = 60:2=30 град. ч.т.д. 2) Дано: АВС, СК - медиана к стороне АВ, т.е.АК=КВ. По условию СК=1/2*АВ=АК. Имеем два равнобедренных треугольника АКС и КСВ. Углы при основании равнобедренных треугольников равны(уг.САК=уг.АСК=α уг.КСВ=уг.СВК=β), Сумма углов треугольника =180 град 2α+2β=180 2(α+β)=180 α+β=90. То есть угол С=α+β=90 град.
ВС:АС=12:5 ⇒ ВС=12·АС/5
Пусть АС=х, тогда ВС=12х/5, по теореме Пифагора
АВ²=АС²+ВС²=х²+144х²/25=169х²/25
АВ=13х/5
Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и половине произведения гипотенузы на высоту, то
ВС·АС=АВ·СН
12х²/5=13·СН·х/5
12х=13СН
СН=12х/13
Из условия
ВС+СН+ВН=12
АС+СН+АН=5 ⇒ ВС+СН+ВН+АС+СН+АН=17 ⇒ Р=17-2·СН
или
12х/5 +12х/13 + ВН=12
х+12х/13+АН=5
складываем
12х/5 +12х/13+ВН + х +12х/13+ АН=17, но АН+ВН=АВ=13х/5
12х/5 +24х/13+х + 13х/5=17,
х=13/6
СН=12х/13=12·13/6·13=2
Р= 17-2·СН=17-2·2=13
ответ. P(Δ АВС) =13 см
Док-во: продолжим прямую АС и отметим на ней точку К, АС=СК. Треугольники АВС и ВСК равны (по двум катетам - признак равенства прямоугольных треугольников). Тогда равны и стороны АВ и ВК. То есть треугольник АВК - равносторонний ( все углы по 60 град) и ВС является одновременно высотой, медианой и биссектрисой. То есть угол АВС=половине угла АВК = 60:2=30 град. ч.т.д.
2) Дано: АВС, СК - медиана к стороне АВ, т.е.АК=КВ. По условию СК=1/2*АВ=АК. Имеем два равнобедренных треугольника АКС и КСВ. Углы при основании равнобедренных треугольников равны(уг.САК=уг.АСК=α уг.КСВ=уг.СВК=β), Сумма углов треугольника =180 град 2α+2β=180
2(α+β)=180 α+β=90. То есть угол С=α+β=90 град.