Решить с подробным решением. даны координаты точек a(x1,y1,z1), b(x2,y2,z2), c(x3,y3,z3), s(x4,y4,z4), вершин пирамиды sabc. найдите:
1) длины рёбер ав, ас, аs
2)угол между ребрами ав и ас
3) длину проекции ребра ав на ребро аs
4) площадь грани авс

даны точки:
а(4,1,-2), в(6,-1,-1), с(2,12,-12), s(12,-10,14)

1) Длины рёбер АВ, АС, АS             x         y      z

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}    2        -2       1

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}  -2         11      -10

Вектор АS={xS-xA, yS-yA, zS-zA}    8        -11        16

Модули (длины) равны:

|AB| = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3.

|AC| = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15.

|AS| = √(64 + 121 + 256) = √441 = 21.

2) Угол между ребрами АВ и АС.

cos(AB_AC) =   (2*-2 + -2*11 + 1*-10) / (3*15) = (-4 - 22 - 10) / 45 = -36 /45 =

                         = -4/5.

∠(AB_AC) = arc cos(-4/5) = 2,4981 радиан = 143,1301  градуса.

3) Длина проекции ребра АВ на ребро АS.

Пр(АВ_AS) = (2*8 + -2*-11 + 1 *16) / 21 = (16 + 22 +16) / 21 = 54/21 = 18/7.

4) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС .                

АВ=  (2; -2; 1 ), АC (-2; 11; -10).

 i          j         k |         i           j

2       -2         1 |        2         -2

-2        11      -10 |      -2          11    = 0

= 20i - 2j  + 22k + 20j - 11i - 4k = 9i + 18j + 18k  = (9; 18; 18).

S(ABC) = (1/2)*√( 81 + 324 + 324) = (1/2)√729 = 13,5.