Ребят Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а точки Н и М лежат на отрезках CD и ВС соответ­ственно так, что МС = 2ВМ и DH = НС

а) Постройте точку пересечения прямой HМ с прямой BD

б) Докажите, что прямые НМ и АС не пересека­ются

в) Постройте плоскость, проходящую через точ­ки H и М параллельно прямой АС, и определите, в ка­ком отношении эта плоскость делит отрезок АВ.

г) Постройте плоскость, проходящую через точ­ку М параллельно плоскости ABD, и определите, в каком отношении эта плоскость делит площадь треугольника ADC.

Начертим паралелограм АВСМ (АВ=СМ=5см; ВС=АМ=8 см; <В=60°)
Проведем диагонали АС и ВМ.
Рассмотрим образовавшийся ΔАВС ( АВ=5см; ВС=8 см; <В=60°)
по теореме косинусов:
АС^2=АВ^2 + ВС^2 - 2*АВ*ВС*cos(AC^2=5^2+8^2-2*5*8*cos(60°)
AC^2=25+64-80*(1/2)
AC^2=89-40
AC^2=49
AC=√49
AC=7 см
Рассмотрим ΔВСМ ( СМ=5см; ВС=8 см; )
<С=180°-<В (по свойству параллелограмма)
<С=180°-60°=120°
По теореме косинусов:
ВМ^2=ВС^2+СМ^2-2*ВС*СМ*cos(BM^2= 8^2+5^2-2*8*5*cos(120°)
По правилу приведения углов:
cos(120°)=cos(180°-60°)=-cos60°=(-1/2)
ВМ^2=64+25-80*(-1/2)
ВМ^2=89+40
ВМ^2=129
ВМ=√129 см
ответ: АС=7см; ВМ=√129 см

Дано: треугольник АВС. АС=21, АВ=17, ВС=10
наибольший угол лежит напротив большей стороны, т.е. BK - перпендикуляр=15
расстоянием от конца-точки К до наиб.стороны - АС это КМ-перпендикуляр.
Проведём ВК, т.к наклонная КМ перпендикулярна АС, то и её проекция ВК будет перпенд. АС.
Найдём площадь треугольника по формуле Герона: S=sqrt(p(p-a)*(p-b)*(p-c))
p=24
S=sqrt(24*3*7*14)=sqrt(3*4*2*3*7*7*2)=3*2*2*7=84
S=1/2*AC*BK, отсюда ВК=84*2/21=8
Рассмотрим треугольник КМВ -прямоугольный: по т.Пиф.: КМ=sqrt(225+64)=17
ответ: 17