Пусть М-точка пересечения медиан треугольника АВС. Оказалось, что углы АВМ=ВСМ, BAМ = ACM. Верно ли, что треугольник АВС- равносторонний?​

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1;y1) (x2;y2)^

(x-x1)\(x2-x1)=(y-y1)\(y2-y1)

(x-x1)\(x2-x1)*(y2-y1)+y1=y (если x1 не равно x2, y2 не равно y1)

Уравнение прямой AB

y=(x-2)\(-1-2)*(4-1)+1=2-x+1=-x+3

угловой коэфициент равен -1

Уравнение прямой AC

y=(x-2)\(3-2)*(-2-1)+1=6-3x+1=-3x+7

угловой коэфициент равен -3

Уравнение прямой BC

y=(x+1)\(3+1)*(-2-4)+4=-3\2x-3\2+4=-3\2x+5\2

угловой коэфициент равен -3\2

 

у перпендикулярных прямых произведение угловых коэфициентов равно -1

поэтому

угловой коээфициент высоты AH1, равен -1\(-3\2)=2\3

угловой коээфициент высоты BH2, равен -1\(-3)=1\3

угловой коээфициент высоты CH3, равен -1\(-1)=1

 

Уравнение прямой имеет вид y=kx+b

Ищем уравнение прямой, проходящей через высоту AH1, (она проходит через точку А)

1=2\3*2+b,  b=-1\3

y=2\3x+1\3

Ищем уравнение прямой, проходящей через высоту BH2, (она проходит через точку B)

4=1\3*(-1)+b,  b=13\3

y=1\3x+13\3

Ищем уравнение прямой, проходящей через высоту CH3, (она проходит через точку C)

-2=1*3+b,  b=-5

y=x-5

 

ответ: уравнения прямых, проходящих через высоты AH1, BH2, CH3 соотвественно y=2\3x+1\3 ,y=1\3x+13\3 , y=x-5 ну вот

1) Дано: Δ АВС; ∠B=90°;  СС`- биссектриса  угла С ( ∠С`CB=∠C`CA);
C`B=8;  CC`=16
Решение.
Из ΔС`CB  
sin ∠BCC`=BC`/CC`=8/16=1/2  ⇒∠BCC`=30°
∠С`CB=∠C`CA=30° (СС`- биссектриса и делит угол С пополам)
∠С=60°
Cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°  ⇒∠ВАС=90°-60°=30°
Сумма смежных углов равна 180°
∠DAC=180°-30°=150°
2)Дано: Δ АВС; ∠C=90°; BC=10;  CD⊥AB; BD=5
Решение.
ΔBDC-прямоугольный, cos∠CBD=BD/BC=5/10=1/2
∠CBD=60°
Cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°  ⇒∠ВАС=90°-60°=30°
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы, значит гипотенуза в два раза больше катета ВС.
АВ=20
AD=AB-DB=20-5=15
3) Дано: Δ ACD, AC=DC=4; CF⊥AD;  ∠DCF=30°; FB⊥AC
Решение.
CF- высота, медиана и биссектриса Δ ACD
∠DCF=∠ACF=30°    ⇒  ∠ACD=60°
ΔACD- равнобедренный ( AС=СD=4 по условию)
значит углы при основании (180°-60°)/2=120°/2=60°
ΔACD- равносторонний
AC=CD=AD=4

AF=FD=2 ( CF - медиана)

В прямоугольном треугольнике АВF 
∠ВАF=60°, значит ∠BFA=30° ( cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°)
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы, значит ВF=AF/2=1.
4) Дано: Δ ABC, ∠C=90°; М- середина АВ ⇒АМ=ВМ; ∠CMD=∠DMA;
∠САВ=30°
Решение.
Cередина гипотенузы- центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника.
Поэтому МА=МВ=МС=R

МС=МА  ⇒ ΔМСА - равнобедренный ⇒ биссектриса MD - высота и медиана  ⇒ MD⊥AC

BC║MD

MD- средняя линия треугольника АВС
MD=BC/2=4/2=2