Сделаем рисунок. Так как окружность пересекает продолжения сторон АС и ВС, а точки N и М лежат на ней, углы DNЕ и DМЕ, опирающиеся на диаметр DE, - прямые, а угол DСЕ , вершина С которого находится внутри окружности, тупой. Поскольку точки D и Е - середины сторон АС и ВС, отрезок DЕ - средняя линия треугольника АВС и равен половине АВ DЕ=АВ:2=7 DС= АС:2=3 СЕ=ВС:2=5 Найдем величину угла DСЕ по т. косинусов. Вычисления давать не буду, ничего сложного в них нет. Главное, что найденный в результате косинус угла DСВ равен - 0,5, и это косинус 120°. Угол ЕСN, как смежный с углом ЕСD, равен 60°. Т.к. треугольник ЕСN прямоугольный, угол СЕN равен 90°-60°=30°. На том же основании угол СDМ =30° Оба эти угла опираются на дугу МN. На ту же дугу опирается центральный угол МОN. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный, вдвое больше него, ⇒ угол МОN=60°. Угол ЕСN - внешний угол при вершине С треугольника DЕС. Он равен 60°, сумма углов ЕDС и DЕС равна этому внешнему углу и равна 60°. Сумма половин углов СЕN и СDМ равна 2*(30°:2)=30°. Следовательно, сумма углов ЕDК+КЕD равна 60°+30°=90°. Отсюда угол DКЕ равен 180°-90°=90° Треугольник DKE- прямоугольный, две его вершины лежат на окружности, а половина гипотенузы - радиус этой окружности. Следовательно, этот треугольник вписан в окружность, и К, точка пересечения биссектрис углов МЕNи NDМ, лежит на этой окружности, что и требовалось доказать. —— Треугольник МОN - равноберенный, т.к. ОМ=ОN= радиусу. Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, этот треугольник - равносторонний. МN равна радиусу окружности, т.е. равна половине ее диаметра DЕ МN=7:2=3,5 ------ [email protected]
1. CD = AB = 12 см как противоположные стороны параллелограмма. Высота ВН делит CD пополам, значит CH = HD = CD/2 = 12/2 = 6 см
ΔСВН прямоугольный с углом 30°, значит гипотенуза в два раза больше катета, лежащего напротив угла в 30°. СВ = 2СН = 12 см. Pabcd = (AB + BC)·2 = (12 + 12)·2 = 48 см
2. Противолежащие углы параллелограмма равны, значит углы А и С равны, значит равны и их половинки. ∠ВМА = ∠МАК как накрест лежащие при пересечении ВС║AD секущей АМ. ∠ВАМ = ∠МАК так как АМ биссектриса, ⇒ ∠ВМА = ∠ВАМ и значит ΔВАМ равнобедренный. ВА = ВМ = 6 см
∠ВМА = ∠МСК, а это соответственные углы при пересечении прямых АМ и СК секущей ВС, значит АМ║СК, СМ║АК так как лежат на противоположных сторонах параллелограмма, значит АМСК - параллелограмм, ⇒ МС = АК = 4 см
ВС = 6 + 4 = 10 см
Pabcd = (AB + BC)·2 = (6 + 10)·2 = 32 см
3. ∠BOD - внешний угол треугольника ВОК, равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. ∠ОВК = 140° - 110° = 30°
Так как окружность пересекает продолжения сторон АС и ВС, а точки N и М лежат на ней, углы DNЕ и DМЕ, опирающиеся на диаметр DE, - прямые, а угол DСЕ , вершина С которого находится внутри окружности, тупой.
Поскольку точки D и Е - середины сторон АС и ВС, отрезок DЕ - средняя линия треугольника АВС и равен половине АВ
DЕ=АВ:2=7
DС= АС:2=3
СЕ=ВС:2=5
Найдем величину угла DСЕ по т. косинусов. Вычисления давать не буду, ничего сложного в них нет.
Главное, что найденный в результате косинус угла DСВ равен - 0,5, и это косинус 120°.
Угол ЕСN, как смежный с углом ЕСD, равен 60°.
Т.к. треугольник ЕСN прямоугольный, угол СЕN равен 90°-60°=30°.
На том же основании угол СDМ =30°
Оба эти угла опираются на дугу МN.
На ту же дугу опирается центральный угол МОN.
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный, вдвое больше него, ⇒ угол МОN=60°.
Угол ЕСN - внешний угол при вершине С треугольника DЕС.
Он равен 60°,
сумма углов ЕDС и DЕС равна этому внешнему углу и равна 60°.
Сумма половин углов СЕN и СDМ равна 2*(30°:2)=30°. Следовательно, сумма углов ЕDК+КЕD равна 60°+30°=90°.
Отсюда угол DКЕ равен 180°-90°=90°
Треугольник DKE- прямоугольный, две его вершины лежат на окружности, а половина гипотенузы - радиус этой окружности.
Следовательно, этот треугольник вписан в окружность, и К, точка пересечения биссектрис углов МЕNи NDМ, лежит на этой окружности, что и требовалось доказать.
——
Треугольник МОN - равноберенный, т.к. ОМ=ОN= радиусу.
Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, этот треугольник - равносторонний.
МN равна радиусу окружности, т.е. равна половине ее диаметра DЕ
МN=7:2=3,5
------
[email protected]
Высота ВН делит CD пополам, значит
CH = HD = CD/2 = 12/2 = 6 см
ΔСВН прямоугольный с углом 30°, значит гипотенуза в два раза больше катета, лежащего напротив угла в 30°.
СВ = 2СН = 12 см.
Pabcd = (AB + BC)·2 = (12 + 12)·2 = 48 см
2. Противолежащие углы параллелограмма равны, значит углы А и С равны, значит равны и их половинки.
∠ВМА = ∠МАК как накрест лежащие при пересечении ВС║AD секущей АМ.
∠ВАМ = ∠МАК так как АМ биссектриса, ⇒
∠ВМА = ∠ВАМ и значит ΔВАМ равнобедренный.
ВА = ВМ = 6 см
∠ВМА = ∠МСК, а это соответственные углы при пересечении прямых АМ и СК секущей ВС, значит
АМ║СК,
СМ║АК так как лежат на противоположных сторонах параллелограмма, значит
АМСК - параллелограмм, ⇒
МС = АК = 4 см
ВС = 6 + 4 = 10 см
Pabcd = (AB + BC)·2 = (6 + 10)·2 = 32 см
3. ∠BOD - внешний угол треугольника ВОК, равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
∠ОВК = 140° - 110° = 30°
ΔВМС: ∠ВМС = 90°, ∠МВС = 30°, ⇒ ∠ВСМ = 90° - 30° = 60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°)
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠CDA = 180° - ∠BCD = 180° - 60° = 120°
Противолежащие углы параллелограмма равны.
ответ: 60°, 60°, 120°, 120°