Ясно, что минимальная длина отрезка MN будет при совпадении точек B и D и точек С и Е. В этом случае M'N' станет средней линией треугольника АВС и будет равна AB (AD)/2.
Оставим точку Е совпадающей с точкой С, а точку D отметим в любом месте на продолжении стороны АВ за точку В.
Тогда M'N - средняя линия треугольника АDC и равна AD/2.
Отметим точку Е в любом месте на продолжении стороны ВС за точку С. Получим треугольник M'MN в котором сторона MN > M'N, так как если провести окружность с центром в точке N радиусом NM', то касательная M'H к этой окружности будет пересекать прямую MN в точке Н.
Доказательство в объяснении.
Объяснение:
Ясно, что минимальная длина отрезка MN будет при совпадении точек B и D и точек С и Е. В этом случае M'N' станет средней линией треугольника АВС и будет равна AB (AD)/2.
Оставим точку Е совпадающей с точкой С, а точку D отметим в любом месте на продолжении стороны АВ за точку В.
Тогда M'N - средняя линия треугольника АDC и равна AD/2.
Отметим точку Е в любом месте на продолжении стороны ВС за точку С. Получим треугольник M'MN в котором сторона MN > M'N, так как если провести окружность с центром в точке N радиусом NM', то касательная M'H к этой окружности будет пересекать прямую MN в точке Н.
MN = MH+HN =>
MN >(M'N = AD/2)
=> MN >AD/2.
Что и требовалось доказать.
1) Дано: АВ=ВС
BD - биссектриса
DC = 35
BC = 80
Найти: AD
Рассмотрим △АВD и △ВDC:
АВ=ВС
BD - биссектриса => ∠ABD =∠DBC
BD - общая
△АВD = △ВDC по 1 признаку => AD=DC=35
ответ: 1
2) Дано:
∠BAD = 37°
∠BCD = 52°
BD - медиана
BD=DE
Найти: ∠DCE
Рассмотрим △EDC и △ABD:
BD=DE
AD=DC
∠ADB = ∠EDC, т.к. они вертикальные
△EDC = △ABD по 1 признаку => ∠DCE = ∠DAB = 37°
ответ: 2
3) Найти: ∠NML и ∠LNM
Т.к. △KLM - равнобедренный, то ∠LKM = ∠LMK = 50°
Т.к. △KLM - равнобедренный, то LM - медиана и высота => ∠LNM = 90°
ответ: 4
4)Найти: ∠BDA
Рассмотрим △BDA и △CAD:
AB = CD
BD = AC
AD - общая
△BDA и △CAD по 3 признаку => ∠BDA = ∠CAD = 35°
ответ: ∠BDA = 35°
5)Найти: ∠АВС
Т.к. ВD - биссектриса, то ∠DBC = ∠ABD = 34 => ∠АВС = ∠DBC + ∠ABD = 34 + 34 = 68
6)Рассмотрим △ABC и △ADC:
AB = CD по условию
∠BAC = ∠DCA по условию
АС - общая
△ABC =△ADC по 1 призаку => ∠АВC = ∠ADC = 76°
7)1;3;4;5