Тетраэдр DABC помещен в прямоугольную систему координат (рис. 5),АВ — АС - 25,ВС = 30, ВО = ОС. Грань ADC составляет с плоскостью основания угол в 45°. 1)Найдите координаты вершин тетраэдра. 2)Найдите координаты вектора ОК, где К— основание перпендикуляра, опущенного из точки О на грань ACD, и разложите вектор ОК по векторам i, j и k.

1. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую.
2. Две плоскости не параллельны, если имеют общую прямую (пересекаются).
3. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти вторые прямые являются пересекающимися.
5. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость параллельная данной плоскости.

Прямые, проведенные через вершины параллелограмма АВСD - параллельны, значит все грани получившейся фигуры АВСDА1B1C1D1 - трапеции. Проведем диагонали оснований. Точка пересечения диагоналей параллелограммов делит их пополам, значит отрезок ОО1 является средней линией трапеций АСС1А1 и ВDD1В1 (то, что это тоже трапеции, доказывать не надо?). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть ОО1= (АА1+СС1)/2 = 11. Но ОО1 - это средняя линия трапеции ВВ1D1D тоже и равна (ВВ1+DD1)|2=11, отсюда ВВ1+DD1=22, а DD1= 22- 12 =10.
ответ: DD1 = 10см.