Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB равна 10, а высота SH равна 24. Точки M и N - середины рёбер SB и AB.
а) Находим длину L бокового ребра.
Перед этим определяем высоту основания:
h = a√3/2 = 10√3/2 = 5√3.
L = √(H² + ((2/3)h)²) = √(24² + (10√3/3)²) = 2√(457/3).
Теперь находим апофему А боковой грани.
A = √(H² + ((1/3)h)²) = √(24² + (5√3/3)²) = √(1753/3).
Заданная плоскость, проходящая через точки M и C параллельно прямой SN, пересекает ребро AB в точке K.
При этом линия сечения МК параллельна апофеме А = SN.
Поскольку SK - средняя линия треугольника NSB , то она делит NB пополам, или КВ = (1/4)АВ,
Доказано: AK:KB=3:1.
б) Находим длины сторон треугольника СМК, являющегося сечением пирамиды заданной плоскостью.
CK = √(h² + (a/4)²) = √((5√3)² + (10/4)²) = √75 + (25/4)) = √(325/4) = (5/2)√13.
MK = (1/2)A = (1/2)√(1753/3).
СМ находим как медиану треугольника BSC по теореме косинусов.
CM = √((L/2)² + a² - 2*(L/2)*a*cosB) =
= √((457/3) + 100 - 2*(1/2)√(1753/3)*0,20255) = 14,2244.
Площадь по формуле Герона равна: S = 54,11336 кв.ед.
ответ: S(CMK) = 54,11336 кв.ед.
1) Цилиндр описанный, => прямоуг.треуг.вписан в окружность, => R равен половине гипотенузы
треугольник равнобедренный, по т.Пифагора
(2R)^2 = 2x^2, где x---катет
R^2 = x^2 / 2
R = x / корень(2)
Sбок.призмы = высота * (x+x+гипотенуза) = 40
2x + 2R = 40/10 = 4
x+R = 2
x = 2-R
R = (2-R) / корень(2)
2-R-Rкорень(2) = 0
2-R(1+корень(2)) = 0
R = 2 / (1+корень(2))
можно избавиться от иррациональности в знаменателе:
домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение (1-корень(2))
R = 2(1-V2) / ((1-V2)(1+V2)) = 2(1-V2) / (1-2) = 2(корень(2) - 1)
2) tgα=h/R, где R-радиус основания конуса, h-высота конуса
Следовательно, h=R*tgα
2)S(сеч)=ah/2=(2Rh)/2=Rh
S(сеч)=Q => Rh=Q =>R*R*tgα=Q
R²tgα=Q
R=√(Q/tgα)
3)L=2ПR
L=2П√(Q/tgα)
3) 24 ( фото с объяснением сверху)
4) Vшара=4пR^3/3
288п=4пR^3/3
R=6
Hцилиндра=2R=12
Sполповцил=2пR(R+H)=216п
Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB равна 10, а высота SH равна 24. Точки M и N - середины рёбер SB и AB.
а) Находим длину L бокового ребра.
Перед этим определяем высоту основания:
h = a√3/2 = 10√3/2 = 5√3.
L = √(H² + ((2/3)h)²) = √(24² + (10√3/3)²) = 2√(457/3).
Теперь находим апофему А боковой грани.
A = √(H² + ((1/3)h)²) = √(24² + (5√3/3)²) = √(1753/3).
Заданная плоскость, проходящая через точки M и C параллельно прямой SN, пересекает ребро AB в точке K.
При этом линия сечения МК параллельна апофеме А = SN.
Поскольку SK - средняя линия треугольника NSB , то она делит NB пополам, или КВ = (1/4)АВ,
Доказано: AK:KB=3:1.
б) Находим длины сторон треугольника СМК, являющегося сечением пирамиды заданной плоскостью.
CK = √(h² + (a/4)²) = √((5√3)² + (10/4)²) = √75 + (25/4)) = √(325/4) = (5/2)√13.
MK = (1/2)A = (1/2)√(1753/3).
СМ находим как медиану треугольника BSC по теореме косинусов.
CM = √((L/2)² + a² - 2*(L/2)*a*cosB) =
= √((457/3) + 100 - 2*(1/2)√(1753/3)*0,20255) = 14,2244.
Площадь по формуле Герона равна: S = 54,11336 кв.ед.
ответ: S(CMK) = 54,11336 кв.ед.
1) Цилиндр описанный, => прямоуг.треуг.вписан в окружность, => R равен половине гипотенузы
треугольник равнобедренный, по т.Пифагора
(2R)^2 = 2x^2, где x---катет
R^2 = x^2 / 2
R = x / корень(2)
Sбок.призмы = высота * (x+x+гипотенуза) = 40
2x + 2R = 40/10 = 4
x+R = 2
x = 2-R
R = (2-R) / корень(2)
2-R-Rкорень(2) = 0
2-R(1+корень(2)) = 0
R = 2 / (1+корень(2))
можно избавиться от иррациональности в знаменателе:
домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение (1-корень(2))
R = 2(1-V2) / ((1-V2)(1+V2)) = 2(1-V2) / (1-2) = 2(корень(2) - 1)
2) tgα=h/R, где R-радиус основания конуса, h-высота конуса
Следовательно, h=R*tgα
2)S(сеч)=ah/2=(2Rh)/2=Rh
S(сеч)=Q => Rh=Q =>R*R*tgα=Q
R²tgα=Q
R=√(Q/tgα)
3)L=2ПR
L=2П√(Q/tgα)
3) 24 ( фото с объяснением сверху)
4) Vшара=4пR^3/3
288п=4пR^3/3
R=6
Hцилиндра=2R=12
Sполповцил=2пR(R+H)=216п