Высота боковой грани нашей пирамиды равна (из прямоугольного треугольника SPO) SP= SO/Sinβ или SP=H/Sinβ. Из этого же треугольника катет ОР=Н/tgβ. Но ОР - это половина высоты ромба, проведенной через его центр - точку О пересечения диагоналей. Следовательно, высота ромба равна 2Н/tgβ. Острый угол основания (ромба) равен (180-α)° (так как углы ромба, прилежащие к одной стороне, равны в сумме 180°). Заметим, что Sin(180-α) = Sinα (формула приведения). Тогда сторона ромба из прямоугольного треугольника АВТ, где ВТ - высота ромба, проведенная из вершины тупого угла), равна АВ=ВТ/Sinα. Или АВ=2Н/(Sinα*tgβ). Площадь основания (ромба) равна So=а²Sinα. Или So=4Н²/(Sinα*tg²β). Площадь боковой грани пирамиды равана Sг=(1/2)a*Hг=(1/2)*2Н/(Sinα*tgβ)*(H/Sinβ)=Н²/(Sinα*tgβ*Sinβ). Тогда площадь полной поверхности пирамиды равна S=4Н²/(Sinα*tg²β) + 4Н²/(Sinα*tgβ*Sinβ) =(4Н²/(Sinα*tgβ))*(1/tgβ+1/Sinβ) = 4Н²*Cosβ(1+Cosβ)/Sinα*Sin²β. Применив формулу ctg(β/2) = (1+Cosβ)/Sinβ, получим: S=4Н²*ctgβ*ctg(β/2)/Sinα.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, ⇒
BO = OD = BD/2 = 3 см
ΔAOD прямоугольный, египетский, значит АО = 4 см.
ОК - перпендикуляр к плоскости треугольника, значит прямая ОК перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.
В ΔАКС ОК - высота и медиана, значит треугольник равнобедренный, КА = КС,
В ΔBKD ОК - высота и медиана, значит треугольник равнобедренный, КВ = KD.
ΔKOD: ∠KOD = 90°, по теореме Пифагора
KD = √(KO² + OD²) = √(64 + 9) = √73 см
KB = KD = √73 см
ΔАОК: ∠АОК = 90°, по теореме Пифагора
КА = √(КО² + АО²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5 см
КА = КС = 4√5 см
SP=H/Sinβ.
Из этого же треугольника катет ОР=Н/tgβ.
Но ОР - это половина высоты ромба, проведенной через его центр - точку О пересечения диагоналей.
Следовательно, высота ромба равна 2Н/tgβ.
Острый угол основания (ромба) равен (180-α)° (так как углы ромба, прилежащие к одной стороне, равны в сумме 180°).
Заметим, что Sin(180-α) = Sinα (формула приведения).
Тогда сторона ромба из прямоугольного треугольника АВТ, где ВТ - высота ромба, проведенная из вершины тупого угла), равна АВ=ВТ/Sinα. Или АВ=2Н/(Sinα*tgβ).
Площадь основания (ромба) равна So=а²Sinα. Или
So=4Н²/(Sinα*tg²β).
Площадь боковой грани пирамиды равана
Sг=(1/2)a*Hг=(1/2)*2Н/(Sinα*tgβ)*(H/Sinβ)=Н²/(Sinα*tgβ*Sinβ).
Тогда площадь полной поверхности пирамиды равна
S=4Н²/(Sinα*tg²β) + 4Н²/(Sinα*tgβ*Sinβ) =(4Н²/(Sinα*tgβ))*(1/tgβ+1/Sinβ) = 4Н²*Cosβ(1+Cosβ)/Sinα*Sin²β.
Применив формулу ctg(β/2) = (1+Cosβ)/Sinβ, получим:
S=4Н²*ctgβ*ctg(β/2)/Sinα.