Около треугольника АВС описана окружность с радиусом 12 см. Расстояния от центра до сторон АВ и ВС равны и угол между этими расстояниями равен 600. Найдите стороны АВ и ВС.

Пусть имеем прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 с размерами рёбер АД = а, АВ = в и АА1 = с.
Так как заданные отрезки не пересекаются, то применим метод параллельного переноса.
Перенесём СД1 из точки С в точку Д.
Точка Д1 перенесётся в точку Д2.
Получим треугольник А1ДД2 и определим все его стороны.
А1Д = √(а²+с²),
ДД2 = СД1 = √(в²+с²),
А1Д2 = В1Д1 = √(а²+в²).

Имея значения рёбер параллелепипеда а, в и с, по полученным формулам находим длины сторон и по правилу построения треугольника по трём сторонам строим треугольник А1ДД2.
Искомый угол - это угол А1ДД2.

Надо иметь в виду, что при пересечении двух прямых образуется 2 пары вертикальных углов. Обычно углом между прямыми считается угол, не превышающий 90 градусов.
Если полученный угол α будет больше 90 градусов, то в ответ надо принять смежный с ним угол, равный 180 - α.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике 90 градусов, поэтому сумма их половин 45 градусов, и углы между биссектрисами острых углов будут 45 градусов и 135 (ну, там 4 угла, пары вертикальных... в сумме 180, конечно). Значит, речь идет не о двух острых углах, а о прямом и остром. 

Тем же определяем, что углы между биссектрисами прямого и острого угла Ф равны Ф/2 + 45 градусов и 135 - Ф/2 градусов.

в первом случае Ф =2*(70 - 45) = 50 градусов, а второй угол треугольника 90 - Ф = 40 градусов.

Во втором случае 135 - Ф/2 = 70 просто получается Ф > 90.

То есть ответ 40 и 50 (третий угол 90, конечно), в таком треугольнике  биссектрисы углов 90 градусов и 50 градусов пересекаются под углом 70 градусов.