если обозначить пересечение CF и BG как Е (и на противоположной грани пирамиды симметричную точку обозначить Е1), то ЕЕ1 ---линия пересечения плоскостей
ЕЕ1 || AB || CD
угол между плоскостями ---угол между перпендикулярами к ЕЕ1, лежащими в этих плоскостях (угол между отрезками высот трапеций),
причем этот угол ---угол при вершине O треугольника GOH, где точка О лежит на ЕЕ1, GO _|_ EE1, OН _|_ EE1, GO+OH = высоте трапеции, GH = а*V3/4
точка Е ---пересечение медиан равностороннего треугольника (боковой грани пирамиды) => точка Е разбивает медианы (а это боковая сторона трапеции...) в отношении 2:1, считая от вершины треугольника => и высота трапеции разбивается прямой ЕЕ1 на отрезки в отношении 2: 1, т.е. GO:OH = 1:2, т.е. OH = 2GO
В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник ABC. Высота DO опускается в центр треугольника О - точку пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы). Тр-ник AOD - прямоугольный с катетом DO = 8 и гипотенузой AD = 10. Значит, по теореме Пифагора AO = 6 = 2/3 от высоты тр-ника AH. AO = 2/3*AH = 6, тогда AH = 6*3/2 = 9 = AB*√3/2. Отсюда сторона треугольника AB = BC = AC = 9*2/√3 = 18√3/3 = 6√3 Боковая поверхность пирамиды - это три одинаковых равнобедренных треугольника с основанием BC = 6√3 и боковой стороной BD = CD = 10. Высота DH (она же биссектриса и медиана) этого тр-ника BCD DH = √(10^2 - 3^2*3) = √(100 - 9*3) = √(100 - 27) = √73 S = 3*S(BCD) = 3*BC*DH/2 = 3*6√3*√73/2 = 9√219
сечениями будут равнобокие трапеции, причем равные...
ребро пирамиды обозначим (а) а = 1
боковые грани пирамиды ---правильные треугольники...
одно основание трапеции = ребру пирамиды = а,
второе основание (меньшее) = средней линии боковой грани пирамиды = а/2
боковая сторона трапеции = медиане боковой грани пирамиды = а*V3 / 2
(высота трапеции)^2 = (а*V3 / 2)^2 - (a/4)^2 = 3a^2 / 4 - a^2 / 16 = 11a^2 / 16
высота трапеции = a*V11 / 4
если обозначить пересечение CF и BG как Е (и на противоположной грани пирамиды симметричную точку обозначить Е1), то ЕЕ1 ---линия пересечения плоскостей
ЕЕ1 || AB || CD
угол между плоскостями ---угол между перпендикулярами к ЕЕ1, лежащими в этих плоскостях (угол между отрезками высот трапеций),
причем этот угол ---угол при вершине O треугольника GOH, где точка О лежит на ЕЕ1, GO _|_ EE1, OН _|_ EE1, GO+OH = высоте трапеции, GH = а*V3/4
точка Е ---пересечение медиан равностороннего треугольника (боковой грани пирамиды) => точка Е разбивает медианы (а это боковая сторона трапеции...) в отношении 2:1, считая от вершины треугольника => и высота трапеции разбивается прямой ЕЕ1 на отрезки в отношении 2: 1, т.е. GO:OH = 1:2, т.е. OH = 2GO
GO = (a*V11 / 4) / 3 = a*V11 / 12
OН = 2*(a*V11 / 12) = a*V11 / 6
по т.косинусов из треугольника GOH
(GН)^2 = OH^2 + GO^2 - 2*OH*GH*cos(GOH)
3a^2 / 16 = 11a^2 / 36 + 11a^2 / 144 - (11a^2 / 36)*cos(GOH)
3a^2 / 16 - 11a^2 / 144 = (11a^2 / 36)*(1-cos(GOH))
1-cos(GOH) = 16a^2 / 144 : (11a^2 / 36) = 4/11
cos(GOH) = 1 - 4/11 = 7/11
искомый угол = arccos(7/11)
Высота DO опускается в центр треугольника О - точку пересечения медиан
(они же высоты и биссектрисы).
Тр-ник AOD - прямоугольный с катетом DO = 8 и гипотенузой AD = 10.
Значит, по теореме Пифагора AO = 6 = 2/3 от высоты тр-ника AH.
AO = 2/3*AH = 6, тогда AH = 6*3/2 = 9 = AB*√3/2.
Отсюда сторона треугольника
AB = BC = AC = 9*2/√3 = 18√3/3 = 6√3
Боковая поверхность пирамиды - это три одинаковых равнобедренных треугольника с основанием BC = 6√3 и боковой стороной BD = CD = 10.
Высота DH (она же биссектриса и медиана) этого тр-ника BCD
DH = √(10^2 - 3^2*3) = √(100 - 9*3) = √(100 - 27) = √73
S = 3*S(BCD) = 3*BC*DH/2 = 3*6√3*√73/2 = 9√219