Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают между собой. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны." Решение: Итак, треугольники АМD и DNC - равны между собой, так как AD=DC (BD- медиана), NC=МA (так как МВ=BN - дано, а АВ=ВС - треугольник АВС равнобедренный) и улы ВАС и ВСА между равными сторонами равны. Из равенства тр-ков вытекает равенство сторон МD и ND. Что и требовалось доказать
Продлим касательные до их пересечения в точке М.
Центры О и О₁ касающихся окружностей лежат на биссектрисе МО угла СМD.
r =O₁B=45, R=OD=90.
Радиусы О₁В и ОD, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной МD (свойство радиусов).
Из О₁ проведем О₁Н ║ МD. В параллелограмме О₁ВDО ∠В=∠D= 90°, следовательно, О₁ОDВ - прямоугольник.
HD=O₁B, ОН=90-45=45.
Прямоугольные ∆ МО₁В и ∆ МОD подобны по общему острому углу при М.
ОО₁=R+r=90+45=135
Косинус равных углов при О и О₁=ОН/ОО₁=45/135=1/3.
Тогда КО₁=О₁В•cos KO₁B=45•1/3=15
TO=DO•cos TOD=90•1/3=30
Расстояние между АВ и СD равно
КТ=ОО₁-ТО+КО₁=135-30+15=120 (ед. длины)