На сторонах угла ∡ ABC точки A и C находятся на равных расстояниях от вершины угла BA=BC. Через эти точки к сторонам угла проведены перпендикуляры AE⊥ BD, CD⊥ BE. 1. Докажи равенство треугольников ΔAFD и ΔCFE. 2. Определи величину угла, под которым перпендикуляр CD пересекает BA, если AE пересекает BC под углом 21°.
1. Назови треугольники, равенство которых позволит доказать равенство ΔAFD и ΔCFE: ΔBA = Δ .
По какому признаку доказывается это равенство? По второму По первому По третьему
Отметь элементы, равенство которых в этих треугольниках позволяет применять выбранный признак:
углы стороны DCB BDC CBD EAB BEA ABE
EB AE CD DB BC BA
По какому признаку доказывается равенство ΔAFD и ΔCFE? По первому По третьему По второму
Отметь элементы, равенство которых в треугольниках ΔAFD и ΔCFE позволяет применять выбранный признак:
углы стороны CEF FAD ADF DFA FCE EFC
CE FA FC DF AD EF
2. Величина угла, под которым перпендикуляр CD пересекает прямую BA — °.
Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Найти: а) сторону основания призмы. б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания в) площадь боковой поверхности призмы. г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.
В основаниях правильной призмы - правильные многоугольники, а боковые грани - прямоугольники. Следовательно, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Треугольник ВD1А - прямоугольный (в основании призмы - квадрат, и ребра перпендикулярны основанию. а) Сторона основания противолежит углу 30°, поэтому АВ=а*sin 30=a/2 б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания - это угол между диагональю ВD1 призмы и диагональю ВD основания. ВD как диагональ квадрата равна а√2):2 cos D1BD=BD:BD1=( а√2):2):a=(√2):2), и это косинус 45 градусов. в) площадь боковой поверхности призмы находят произведением высоты на периметр основания: S бок=DD1*AB= (а√2):2)*4*a/2=a²√2 г) Сечение призмы, площадь которого надо найти, это треугольник АСК. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Верным является и обратное утверждение. Высота КН - средняя линия прямоугольного треугольника BDD1. Она параллельна диагонали призмы, а само сечение проходит через диагональ АС основания. S Δ(АСК)=КН*СА:2 SΔ (АСК)=(0,5а*а√2):2):2=(а²√2):8
1. Сумма одной пары внешних углов треугольника равна 194°, а сумма другой пары внешних углов - 321°. Найдите внутренние углы треугольника.
Пусть данный треугольник АВС.
Сумма внешних углов при вершине А=321°. Внешние углы при одной вершине вертикальные и равны, тогда каждый из них равен 321°:2=160,5°
Сумма внешнего и внутреннего угла треугольника, смежного с ним, равна 180°. ∠ВАС=180°-160,5°=19,5°
Сумма внешних углов при вершине С=194°, а каждый из них равен 194:2=97°. Смежный с ним внутренний ВСА=83°
Угол АВС=180°-(19,5°+83°)=77,5°
Углы ∆ АВС равны 19,5°; 87°; 77,5°
---------------------
2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины при основании, образует с основанием угол, равный 34 градуса. Какой угол образует медиана, проведенная к основанию, с боковой стороной?
Пусть данный треугольник АВС. АМ - биссектриса угла А, ВН - медиана проведенная к АС.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, и
∠ А=∠С=34°•2=68°.
∠ АВС=180°-2•68°=44°
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, еще и его высота и биссектриса. Она делит угол пополам. Угол, образованный медианой с боковой стороной, -∠ НВА=44°:2=22°
плоскостью боковой грани угол 30°. Найти:
а) сторону основания
призмы.
б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания
в) площадь боковой поверхности призмы.
г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.
В основаниях правильной призмы - правильные многоугольники, а боковые грани - прямоугольники. Следовательно, ее боковые ребра перпендикулярны основанию.
Треугольник ВD1А - прямоугольный (в основании призмы - квадрат, и ребра перпендикулярны основанию.
а) Сторона основания противолежит углу 30°, поэтому АВ=а*sin 30=a/2
б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания - это угол между диагональю ВD1 призмы и диагональю ВD основания.
ВD как диагональ квадрата равна а√2):2
cos D1BD=BD:BD1=( а√2):2):a=(√2):2),
и это косинус 45 градусов.
в) площадь боковой поверхности призмы находят произведением высоты на периметр основания:
S бок=DD1*AB= (а√2):2)*4*a/2=a²√2
г) Сечение призмы, площадь которого надо найти, это треугольник АСК.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Верным является и обратное утверждение.
Высота КН - средняя линия прямоугольного треугольника BDD1. Она параллельна диагонали призмы, а само сечение проходит через диагональ АС основания.
S Δ(АСК)=КН*СА:2
SΔ (АСК)=(0,5а*а√2):2):2=(а²√2):8
1. Сумма одной пары внешних углов треугольника равна 194°, а сумма другой пары внешних углов - 321°. Найдите внутренние углы треугольника.
Пусть данный треугольник АВС.
Сумма внешних углов при вершине А=321°. Внешние углы при одной вершине вертикальные и равны, тогда каждый из них равен 321°:2=160,5°
Сумма внешнего и внутреннего угла треугольника, смежного с ним, равна 180°. ∠ВАС=180°-160,5°=19,5°
Сумма внешних углов при вершине С=194°, а каждый из них равен 194:2=97°. Смежный с ним внутренний ВСА=83°
Угол АВС=180°-(19,5°+83°)=77,5°
Углы ∆ АВС равны 19,5°; 87°; 77,5°
---------------------
2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины при основании, образует с основанием угол, равный 34 градуса. Какой угол образует медиана, проведенная к основанию, с боковой стороной?
Пусть данный треугольник АВС. АМ - биссектриса угла А, ВН - медиана проведенная к АС.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, и
∠ А=∠С=34°•2=68°.
∠ АВС=180°-2•68°=44°
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, еще и его высота и биссектриса. Она делит угол пополам. Угол, образованный медианой с боковой стороной, -∠ НВА=44°:2=22°