Имеем прямоугольник ABCD. Диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O. Угол ABO=36градусов.Найти угол AOD.Т.к. диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то треугольник ABO - равнобедренный. Значит, ABO=BAO=36.ABO+BAO+AOB=180 градусов. угол AOB= 180-( ABO+BAO). угол AOB=180 - (36+36)=108. Т.к. AOB+AOD=180(эти углы смежные), то AOD=180-108=72 градуса.
Треугольники АВС и EBF подобны по двум углам (<B - общий, а <BFE=<BCA как односторонние при параллельных AC и EF и секущей ВС). Из подобия имеем: BG/BH=EF/AC. Пусть Х - сторона вписанного в треугольник квадрата. BG=(h-X), AC=(h+7), где h = ВН - высота треугольника АВС. Имеем квадратное уравнение: h²+7h -2X*h - 7X =0 или h² - (2X-7)*h - 7X =0. Его корни: h1,2={(2X-7)±√[(2X-7)²+28X]}/2. Площадь треугольника: S = (1/2)*BH*AC = (1/2)*h*(h+7). Подставив в формулу значение h, получим площадь, как функцию длины стороны квадрата Х: S= (1/2)*({(2X-7)±√[(2X-7)²+28X]}/2)*(({(2X-7)±√[(2X-7)²+28X]}/2)+7). Подставив в эту "страшную" формулу значение стороны квадрата Х=12, получим: S = (1/2)*({17±√[289+336]}/2)*((17±√625}/2)+7) = (1/2)*21*28 = 294см².
P.S. Я взял на себя смелость исправить в "дано" 7м на 7см, так как сторона квадрата, вписанного в треугольник, дается в см. Ну и мною нигде не использовано то, что треугольник равнобедренный. Значит есть еще варианты решений и, может быть, много проще.
ИЛИ ТАК
Сначала найдём угол AOB. Треугольник AOB - равнобедренный с основанием AB, углы ABO и BAO равны 36 градусов. Угол AOB равен 180 - 2 * 36 = 108 градусов.Угол AOD равен 180 - AOB = 180 - 108 = 72 градуса.
<BFE=<BCA как односторонние при параллельных AC и EF и секущей ВС). Из подобия имеем: BG/BH=EF/AC.
Пусть Х - сторона вписанного в треугольник квадрата.
BG=(h-X), AC=(h+7), где h = ВН - высота треугольника АВС.
Имеем квадратное уравнение:
h²+7h -2X*h - 7X =0 или h² - (2X-7)*h - 7X =0.
Его корни: h1,2={(2X-7)±√[(2X-7)²+28X]}/2.
Площадь треугольника: S = (1/2)*BH*AC = (1/2)*h*(h+7). Подставив в формулу значение h, получим площадь, как функцию длины стороны квадрата Х:
S= (1/2)*({(2X-7)±√[(2X-7)²+28X]}/2)*(({(2X-7)±√[(2X-7)²+28X]}/2)+7).
Подставив в эту "страшную" формулу значение стороны квадрата Х=12, получим:
S = (1/2)*({17±√[289+336]}/2)*((17±√625}/2)+7) = (1/2)*21*28 = 294см².
P.S. Я взял на себя смелость исправить в "дано" 7м на 7см, так как
сторона квадрата, вписанного в треугольник, дается в см. Ну и мною нигде не использовано то, что треугольник равнобедренный. Значит есть еще варианты решений и, может быть, много проще.